四次方程 四次方程，是未知数最高次数不超过四次的多项式方程。一个典型的一元四次方程的通式为： formula_1 其中 formula_2 本篇只讨论一元四次方程，并简称为四次方程。 四次方程的解法. 数学家们为了解开四次方程——确切地说，找到解开四次方程的方法——做出了许多努力。像其它多项式一样，有时可以对四次方程进行因式分解；但高次幂下的因式分解往往非常困难，尤其是当根是无理数或复数时。因此找到一个公式解（就像二次方程的求根公式那样， 能解所有的一元二次方程）意义重大。经过诸多研究后，数学家们终于找到了四次方程的公式解。不过之后埃瓦里斯特·伽罗瓦证明，求根公式止步于四次方程，更高次幂的方程无法通过固定的公式求出。对于五次及以上的方程，需要一种更为有效的方式来求解。 由于四次方程的复杂性（参见下文），求解公式并不常用。如果只要求求解有理实根，可以使用试错法，该方法对于任意次数的多项式求解都有效。或是使用鲁菲尼法则求出，前提是所给的多项式的系数都是有理的。利用计算机编程，通过牛顿法等数值方法，可以轻易得到任意次方程的实数（数值）解。 特殊情况. 名义上的四次方程. 如果formula_3，那么其中一个根为formula_4，其它根可以通过消去四次项，并解产生的三次方程, formula_5 双二次方程. 四次方程式中若formula_6 和 formula_7 均为 formula_8者有下列形态： formula_9 因此它是一个双二次方程式。解双二次方程式非常容易，只要设 formula_10 ，我们的方程式便成为： formula_11 这是一个简单的二次方程式，其根可用二次方程式的求根公式来解： formula_12 当我们求得 "z" 的值以后，便可以从中得到formula_13 的值： formula_14 formula_15 formula_16 formula_17 若任何一个 formula_18 的值为负数或复数，那么一些 formula_13 的值便是复数。 费拉里的方法. 开始时，四次方程首先要被转化为低级的四次方程式。 转变成减少次数的四次方程. 要让以下四次方程式变成标准的四次方程式，先在等式两边分别除以formula_20 formula_21 formula_22 第一步：消除 formula_23列。为了做到这一步，先把变量formula_24变成formula_25，其中 formula_26. 将变量替换：formula_27 展开后变成：formula_28 整理后变成以u为变量的表达式 formula_29 现在改变表达式的系数，为 formula_30 formula_31 formula_32 结果就是我们期望的低级四次方程式，为 formula_33 如果 formula_34 那么等式就变成了双二次方程式，更加容易解决（解释上面）；利用反向替代，我们可以获得我们要解决的变量 formula_24的值. 费拉里的解法. 这种降低的四次方程的方法是被费拉里发现的，然而，这种方式曾经被发现过。接下来，利用一个恒等式 formula_36 从方程 (1)和上式，得出： formula_37 结果把 formula_38配成了完全平方式：formula_39。左式中，formula_40 并不出现，但其符号已改变并被移到右边。 下一步是在方程formula_41 左边的完全平方中插入变量 formula_42，相应地在右边插入一项formula_43。根据恒等式 formula_44 及 formula_45两式相加，可得 formula_46（formula_47的插入） 与等式(2)相加，得 formula_48 也就是 formula_49 现在我们需要寻找一个formula_47值，使得方程formula_51的右边为完全平方。而这-{只}-要令二次方程的判别式为零。为此，首先展开完全平方式为二次式： formula_52 右边的二次式有三个系数。可以验证，把第二项系数平方，再减去第一与第三项系数之积的四倍，可得到零： formula_53 因此，为了使方程(3)的右边为完全平方，我们必须解出下列方程： formula_54 把二项式与多项式相乘， formula_55两边除以formula_56，再把formula_57移动到右边， formula_58 这是关于formula_47的三次方程。两边除以formula_60， formula_61 转化嵌套的三次方程为降低次数的三次方程. 方程formula_62是嵌套的三次方程。为了解方程formula_62，我们首先用换元法把它转化为减少次数的三次方程： formula_64 方程formula_62变为 formula_66 展开，得 formula_67 合并同类项，得 formula_68 这是嵌套的三次方程。 记 formula_69 formula_70 则此三次方程变为 formula_71 解嵌套的降低次数的三次方程. 方程formula_72的解(三个解中任何一个都可以)为 令 formula_73 这对于平方根的正负号均成立，只要等式两边取相同的符号。formula_74的正负是多余的，因为它将被本页后面马上将提到的另一个formula_75消去。 从而它可分解因式为： formula_76. 注：若 formula_77 则 formula_78。如果 formula_79则方程为双二次方程，前面已讨论过。 因此方程formula_51化为 formula_81. 等式formula_82两边各有一个乘起来的完全平方式。两完全平方式相等。 如果两平方式相等，则两平方式的因子也相等，即有下式： formula_83. 对 formula_25合并同类项，得 formula_85. 注：formula_86 及 formula_87 中的下标formula_88 用来标记它们是相关的。 方程formula_89是关于formula_25的二次方程。其解为 formula_91 化简，得 formula_92 这就是降低次数的四次方程的解，因此原来的四次方程的解为 formula_93 注意：两个 formula_86 来自等式formula_95的同一处，并且它们应有相同的符号，而 formula_96 的符号是无关的。 费拉里方法的概要. 给定一个四次方程 formula_97 其解可用如下方法求出： formula_98 formula_31 formula_100 若 formula_34，求解 formula_102 并代入 formula_103，求得根 formula_104. formula_69 formula_106 formula_107（平方根任一正负号均可） formula_108（有三个复根，任一个均可） formula_109 formula_110 两个formula_111 必须有相同的符号,formula_112 的符号无关。为得到全部的根，对formula_111，formula_112 ,formula_115,formula_116,formula_117及 formula_118 及 formula_119 及 formula_120 来求formula_121。二重根将得出两次，三重根及四重根将得出四次（尽管有formula_122，是一种特殊的情况）。方程根的次序取决于立方根formula_123 的选取。（见对formula_89相对formula_125的注） 此即所求。 还有解四次方程的其他方法，或许更好些。费拉里首先发现这些迷宫般的解之一。他所解的方程是 formula_126 ， 它已经化为简约的形式。它有一对解，可由上面给出的公式得到。 formula_127 笛卡儿方法. 此四次方程是下列两个二次方程之积： formula_128 以及 formula_129 由于 formula_130 因此 formula_131 设 formula_132 formula_133 则方程formula_134 变为 formula_135 同时有(未知的)变量formula_136和formula_137使方程formula_138 变为 formula_139 方程formula_140与formula_141 相乘，得 formula_142 把方程formula_143 与原来的二次方程比较，可知 formula_144 formula_145 formula_146 及 formula_147 因此 formula_148 formula_149 方程formula_141的解为 formula_151 formula_152 这两个解中的一个应是所求的实解。 欧拉的方法. 写出式子 formula_153，令 formula_154, 把上式改写为 formula_155, 再利用系数 formula_156 造出另一式子: formula_157, 求出 formula_158 的三根，并用 formula_159 代表它们。 那么 formula_160 的四个根就是 formula_161 formula_162 formula_163 formula_164 合并来看 二次方程根的样式为 formula_165 ,其中 formula_166 三次方程根的样式为 formula_167 ,其中 formula_168 四次方程根的样式为 formula_169 ,其中 formula_170 延伸这样式，暗示了五次方程寻根的方向。 其它方法. 化为双二次方程. 一个例子可见双二次方程。 求根公式. 四次方程的求根公式可以通过上述的伽罗瓦理论和因式分解得到。对于formula_171，有： formula_172 formula_173 formula_174 formula_175 formula_176#重定向 -{H|zh-hans:重定向;zh-hant:重新导向;}--{H|zh-cn:字符;zh-tw:字元;}--{H|zh-hans:文件; zh-hant:档案;}--{H|zh-hans:快捷方式; zh-hant:捷径;}--{H|zh-hans:项目;zh-hant:专案;zh-tw:计划;zh-hk:计划;zh-mo:计划;}--{H|zh-cn:计算机; zh-sg:电脑; zh-tw:电脑;}- PlanetMath指出，这四个形式直接使用，即使是在计算机上也过于复杂。这四个解的推导过程的最后几步有较为简单的中间形式可以采用。得到这些解需要用到三次方程的求根公式。