艾森斯坦判别法

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艾森斯坦判别法

艾森斯坦判别法艾森斯坦判别法(Eisenstein's criterion)是代数学中的一个定理，其名称由来为德国数学家费迪南·艾森斯坦，此定理给出了判定整系数多项式不能分解为整系数多项式乘积的充分条件。由高斯引理，这判别法也是多项式在有理数域不可约的充分条件。艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数多项式 formula_1 如果存在质数"p"，使得那么"f"("x")是不可约的。例子. 给定多项式"g"("x") = 3"x"4 + 15"x"2 + 10，试确定它能否分解为有理系数多项式之积。试用艾森斯坦判别法。素数2和3都不适合，考虑素数"p" = 5。5整除"x"的系数15和常数项10，但不整除首项3。而且52 = 25不整除10。所以"g"("x")在有理数域不可约。有时候不能直接用判别法，或者可以代入"y" = "x" + "a"后再使用。例如考虑"h"("x") = "x"2 + "x" + 2。这多项式不能直接用判别法，因为没有素数整除"x"的系数1。但把"h"("x")代入为"h"("x" + 3) = "x"2 + 7"x" + 14，可立刻看出素数7整除"x"的系数和常数项，但72 = 49不整除常数项。所以有时通过代入便可以用到判别法。艾森斯坦判别法得出的一个著名结果如下：对素数"p"，"p"阶分圆多项式 formula_2 在有理数域不可约。要使用艾森斯坦判别法，先作代换"x" = "y" + 1。新的常数项是"p"，除首项是1外，其他项的系数是二项式系数formula_3，"k"大于0，所以可以被"p"除尽。初等证明. 对多项式"f"("x")取模"p"，也就是把它的系数映射到有限体formula_4上。这样它便化为formula_5，其中"c"为非零常数。因为在体上的多项式有唯一分解，"f"模"p"时会分解为单项式。如果"f"是在有理数上可约的，那么会有多项式"g", "h"使得"f" = "g" "h"。从上可知"g"和"h"取模"p"分别为formula_6和formula_7，满足"c" = "d" "e"。因为"g"和"h"模"p"的常数项为零，这表示"g"和"h"的常数项均可被"p"整除，所以"f"的常数项"a"0可以被"p"2整除，与"f"系数的假设矛盾。因此得证。更进一步的解释. 依据牛顿图的理论在其p进制数域，我们考虑一系列点的下凸集。 (0,1), (1, "v"1), (2, "v"2), ..., ("n" − 1, "v""n"-1), ("n",0), 其中"v""i"是"a""i"关于"p"的最高次幂。对于一个艾森斯坦多项式，对0 < "i" < "n","v""i"至少为"1"，"v""0" "=1" "v""n" "=0"，固而它的牛顿图即点列的下凸集应当是一条从(0,1) to ("n",0)的线段，其斜率为−1/"n"。

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