并集
并集
在集合论和数学的其他分支中，一群集合的并集，是以这群集合的所有元素来构成的集合。
有限联集.
联集是由公理化集合论的分类公理来确保其唯一存在的特定集合 formula_1 ：
formula_2
也就是直观上：
「对所有 formula_3 ， formula_4 等价于 formula_5 或 formula_6」
举例：
集合formula_7和formula_8的并集是formula_9。数formula_10不属于素数集合formula_11和偶数集合formula_12的并集，因为formula_10既不是素数，也不是偶数。
更通常的，多个集合的并集可以这样定义：
例如，formula_14和formula_15的并集含有所有formula_16的元素，所有formula_17的元素和所有formula_15的元素，而没有其他元素。形式上：
formula_3是formula_20的元素，当且仅当formula_3属于formula_16或formula_3属于formula_17或formula_3属于formula_15。
代数性质.
二元并集（两个集合的并集）是一种结合运算，即
formula_27。事实上，formula_20也等于这两个集合，因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。
相似的，并集运算满足交换律，即集合的顺序任意。
空集是并集运算的单位元。即formula_29，对任意集合formula_16。可以将空集当作零个集合的并集。
结合交集和补集运算，并集运算使任意幂集成为布尔代数。例如，并集和交集相互满足分配律，而且这三种运算满足德·摩根律。若将并集运算换成对称差运算，可以获得相应的布尔环。
无限并集.
由公理化集合论的并集公理，有唯一的集合 formula_31 满足：
formula_32
也就是直观上「对所有 formula_33 和所有 formula_3 ， formula_35 等价于有某个 formula_33 的下属集合 formula_16 ，使得formula_5」。以上的 formula_33 可以直观的视为一个集合族，而把 formula_31 看成对 formula_33 内的集合取并集，但这个公理并没有对 formula_33 下属集合的数量做出任何限制，所以这个 formula_31 被俗称为任意并集或无限并集。
若 formula_44 ，会称 formula_45 被 formula_33 覆盖（cover），也就是直观上可以用 formula_33 里的所有集合叠起来盖住 formula_45。
例如：
对 formula_49，formula_50 ，若 formula_51是空集， formula_31 也是空集。
无限并集有多种表示方法：
可模仿求和符号记为
formula_53。
但大多数人会假设指标集 formula_54 的存在，换句话说
若 formula_55 则 formula_56
在指标集 formula_54 是自然数系 formula_58 的情况下，更可以仿无穷级数来表示，也就是说：
若 formula_59 则 formula_60
也可以更粗略直观的将 formula_61 写作formula_62。
无限并集的性质.
定理(0) —
formula_63
比较性质.
定理(1) —
formula_64
覆盖性质.
定理(2) —
formula_65
「formula_16 正好就是其幂集的联集」，这个定理直观上可理解成，因为幂集 formula_67 是以 formula_16 和 formula_16 的子集为元素，所以 formula_67 的联集理当是 formula_16 。
定理(3) —
formula_72
直观上，这个定理说「一群集合的联集包含于 formula_16 ，则它们个个都包含于 formula_16 」
定理(4) —
formula_75
直观上，这个定理说「集族 formula_33 的联集为 formula_16 ，则对 formula_16 的每点 formula_79 ，都可从 formula_33 里找到一个 formula_79 的邻域 formula_51 ，且这个邻域不会比 formula_16 大 」
运算性质.
定理(5) —
若
formula_84
定理(6) —
formula_85，若对自然数 formula_86 做以下的符号定义：
formula_87。
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