交换律
交换律
交换律（）是被普遍使用的一个数学名词，意指能改变某物的顺序而不改变其最终结果。交换律是大多数数学分支中的基本性质，而且许多的数学证明需要倚靠交换律。简单运算的交换律许久都被假定存在，且没有给定其一特定的名称，直到19世纪，数学家开始形式化数学理论之后，交换律才得到正式的定义。
一般用法.
交换律是一个和二元运算及函数有关的性质。而若交换律对一特定二元运算下的一对元素成立，则称这两个元素为在此运算下是「可交换」的。
在群论和集合论中，许多的代数结构被称做是可交换的，若其中的运算域满足交换律。在数学分析和线性代数中，一些知名的运算（如实数及复数上的加法和乘法）的交换律会经常被用于（或假定存在于）证明之中。
数学定义.
「可交换」一词被使用于如下几个相关的概念中：
1. 在集合 formula_1 的一二元运算 formula_2 被称之为「可交换」的，若：
formula_3
2. 若称 formula_4 在 formula_2 下和 formula_6 「可交换」，即表示：
formula_7
3. 一二元函数formula_8被称之为「可交换」的，若：
formula_9.
历史.
对交换律假定存在的应用早在很久之前便已有所记戴。埃及人用乘法的交换律来简化乘积的计算。且知欧几里得在《几何原本》中已有假定了乘法交换律的存在。对交换律形式上的应用产生于18世纪末19世纪初，那时数学家开始在研究函数的理论。今日，交换律已被普遍认知，且在大多数的数学分支中被当做基本性质来使用。交换律的简易版本通常会在初等数学教程中被教导。
第一个使用「可交换（commutative）」一词的是 Francois Servois 于1814年写下的笔记，这一词在笔记中被用来指有著现在称之为交换律的函数。这一词首次出现于英语中的是在1844年的英国皇家学会哲学汇刊中。
相关性质.
结合律.
结合律和交换律密切相关著。结合律是指运算的顺序并不会影响其最终结果。相对地，交换律则是指运算元的顺序不会影响其最终结果的性质。
对称.
对称可以和交换律有直接的关连。若将一个可交换运算子写成一个二元函数，则此一函数会对 formula_10 这条线对称。举例来说，若设一函数 formula_11 来表示加法（一可交换运算），所以 formula_12 ，也因此 formula_11 会是个如右图所见的对称函数。
例子.
数学中的可交换运算.
两个广为人知的可交换二元运算的例子为：
formula_14
例如， formula_15 ，两个表示式都等于 9 。
formula_16
例如， formula_17 ，两者都等于 15 。
数学中的不可交换运算.
一些不可交换二元运算有：
formula_20
"Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.
"Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.
"Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout."
"Article describing the mathematical ability of ancient civilizations."
"Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus."
本站由爱斯园团队开发维护，感谢那些提出宝贵意见和打赏的网友，没有你们的支持，网站不可能发展到今天，
继往开来，善终如始，我们将继续砥砺前行。
Copyright ©2014 iissy.com, All Rights Reserved.