双射
双射
数学中，一个由集合formula_1映射至集合formula_2的函数，若对每一在formula_2内的formula_4，存在唯一一个在formula_1内的formula_6与其对应，且对每一在formula_1内的formula_6，存在唯一一个在formula_2内的formula_4与其对应，则此函数为对射函数。
换句话说，如果其为两集合间的一一对应，则formula_11是双射的。即，同时为单射和满射。
例如，由整数集合formula_12至formula_12的函数formula_14，其将每一个整数formula_6连结至整数formula_16，这是一个双射函数；再看一个例子，函数formula_17，其将每一对实数formula_18连结至formula_19，这也是个双射函数。
一双射函数亦简称为双射（）或置换。后者一般较常使用在formula_20时。以由formula_1至formula_2的所有双射组成的集合标记为formula_23。
双射函数在许多数学领域扮演著很基本的角色，如在同构的定义（以及如同胚和微分同构等相关概念）、置换群、投影映射及许多其他概念的基本上。
复合函数与反函数.
一函数formula_11为双射的若且唯若其逆关系formula_25也是个函数。在这情况，formula_25也会是双射函数。
两个双射函数formula_27及formula_28的复合函数formula_29亦为双射函数。其反函数为formula_30。
另一方面，若formula_29为双射的，可知formula_11是单射的且formula_33是满射的，但也仅限于此。
一由formula_1至formula_2的关系formula_11为双射函数若且唯若存在另一由formula_2至formula_1的关系formula_33，使得formula_29为formula_1上的恒等函数，且formula_42为formula_2上的恒等函数。必然地，此两个集合会有相同的势。
双射与势.
若formula_1和formula_2为有限集合，则其存在一两集合的双射函数若且唯若两个集合有相同的元素个数。确实，在公理集合论里，这正是「相同元素个数」的"定义"，且广义化至无限集合，并导致了基数的概念，用以分辨无限集合的不同大小。
formula_88且formula_89。
# formula_11为一双射函数。
# formula_11为一满射函数。
# formula_11为一单射函数。
双射与范畴论.
形式上，双射函数恰好是集合范畴内的同构。
参考文献.
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