复分析
复分析（）是研究复变的函数，特别是亚纯函数和复变解析函数的数学理论。
研究中常用的理论、公式以及方法包括柯西积分定理、柯西积分公式、留数定理、洛朗级数展开等。复变分析的应用领域较为广泛，在其它数学分支和物理学中也起着重要的作用。包括数论、应用数学、流体力学、热力学和电动力学。
复变函数.
复变函数，是自变量和因变量皆为复数的函数。更确切的说，复变函数的值域与定义域都是复数平面的子集。在复变分析中，自变量又称为函数的“宗量”。
对于复变函数，自变量和应变量可分成实部和虚部:
formula_1
formula_2
其中formula_3和formula_4是实数函数。
用另一句话说，就是函数formula_5的成分,
formula_6
formula_7
可以理解成变量formula_8和formula_9的二元实函数。
全纯函数.
全纯函数（--
）是定义在复数平面formula_10的开子集上的，在复数平面formula_10中取值的，在每点上皆可微的函数。
复变函数为全纯函数的充分必要条件是复变函数的实部和虚部同时满足柯西-黎曼方程：
formula_12
和
formula_13
通过上面的这个方程组也可以由全纯函数的实部或者虚部之一来求解另一个。
柯西积分定理.
柯西积分定理指出，如果全纯函数的封闭积分路径没有包括奇点，那么其积分值为0；如果包含奇点，则外部闭合路径正向积分的值等于包围这个奇点的内环上闭合路径的正向积分值。
柯西积分公式.
假设formula_14是复数平面formula_10的一个开子集，formula_16是一个在闭圆盘formula_17上复可微的方程，并且闭圆盘formula_18是formula_14的子集。 设formula_20为formula_17的边界。则可以推得每个在"formula_17"内部的点formula_23：
formula_24
其中的积分为逆时针方向沿着formula_20的积分。
亚纯函数.
在复变分析中，一个复数平面的开子集formula_17上的亚纯函数是一个在formula_17上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数，那些孤立点称为该函数的极点。
复变函数的级数展开.
复函数的可微性有比实函数的可微性更强的性质。例如：每一个正则函数在其定义域中的每个开圆盘都可以幂级数来表示：
formula_28。
特别地，全纯函数都是无限次可微的，性质对实可微函数而言普遍不成立。大部分初等函数（多项式、指数函数、三角函数）都是全纯函数。常用的方法有泰勒级数展开等。
洛朗级数.
复变函数formula_5的洛朗级数，是幂级数的一种，它不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。
formula_30
奇点的情况.
对于复变函数的孤立奇点，有如下三类。
本质奇点.
复变函数在某孤立奇点邻域的洛朗级数展开，如果存在无穷个负幂项，那么这个点称为“本质奇点”。
对复平面formula_20上的给定的开子集"formula_14"，以及"formula_14"中的一点formula_23，亚纯函数formula_35在formula_23处有本质奇点当且仅当它不是极点也不是可去奇点。
极点.
复变函数在某孤立奇点邻域的洛朗级数展开，如果存在有限个负幂项，那么这个点称为“极点”。
亚纯函数的极点是一种特殊的奇点，它的表现如同formula_37时formula_38的奇点。这就是说，如果当formula_39趋于formula_23时，函数formula_5趋于无穷大，那么formula_5在formula_43处便具有极点。
可去奇点.
复变函数在某孤立奇点邻域的洛朗级数展开，如果没有负幂项，那么这个点称为“可去奇点”。
如果"formula_14"是复平面formula_20的一个开集，formula_23是"formula_14"中一点，formula_48是一个全纯函数，如果存在一个在formula_49与formula_50相等的全纯函数formula_51，则formula_23称为formula_50的一个可去奇点。如果这样的formula_54存在，我们说formula_50在formula_23是可全纯延拓的。
留数.
定义.
在复分析中，留数是一个复数，描述亚纯函数在奇点周围的路径积分的表现。
亚纯函数formula_50在孤立奇点formula_23的留数，通常记为formula_59，是使
formula_60
在圆盘formula_61内具有解析原函数的唯一值formula_62
留数定理.
在复分析中，留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。
假设"U"是复平面上的一个单连通开子集，"a"1、……、"a""n"是复平面上有限个点，"f"是定义在"U" \ {"a"1、……、"a""n"}的全纯函数。如果γ是一条把"a"1、……、"a""n"包围起来的可求长曲线，但不经过任何一个"a""k"，并且其起点与终点重合，那么：
formula_63
一些难于计算的实函数的积分可以通过转化为复变函数，然后利用留数定理来进行计算。
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