自相关函数

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自相关函数

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自相关（），也叫序列相关，是一个信号于其自身在不同时间点的互相关。非正式地来说，它就是两次观察之间的相似度对它们之间的时间差的函数。它是找出重复模式（如被噪声掩盖的周期信号），或识别隐含在信号谐波频率中消失的基频的数学工具。它常用于信号处理中，用来分析函数或一系列值，如时域信号。定义. 自相关函数在不同的领域的定义不完全等价。在某些领域，自相关函数等同于自协方差。统计学. 将一个有序的随机变量序列与其自身相比较，这就是自相关函数在统计学中的定义。每个不存在相位差的序列，都与其自身相似，即在此情况下，自相关函数值最大。如果序列中的组成部分相互之间存在相关性（不再是随机的），则由以下相关值方程所计算的值不再为零，这样的组成部分为自相关。 formula_1 formula_2 ... 期望值。 formula_3 ... 在t(i)时的随机变量值。 formula_4 ... 在t(i)时的预期值。 formula_5 ... 在t(i+k)时的随机变量值。 formula_6 ... 在t(i+k)时的预期值。 formula_7 ... 为方差。所得的自相关值R的取值范围为[-1,1],1为最大正相关值，-1则为最大负相关值，0为不相关。信号处理. 在信号处理中，上面的定义通常不进行归一化，即不减去均值并除以方差。当自相关函数由均值和方差归一化时，有时会被称作自相关系数。给定一个信号 formula_8，连续自相关函数 formula_9 通常定义为 formula_8 与其自身延迟 formula_11 的连续互相关。 formula_12 其中 formula_13 表示共轭复数，formula_14 是对函数 formula_15 操作的一个函数，定义为 formula_16 而 formula_17 表示卷积。对于，formula_18。注意积分中的参数 formula_19 是一个虚变量，并且只对计算积分有用。没有具体含义。离散信号 formula_20 的延迟为 formula_21 的离散自相关 formula_22 是 formula_23 上述定义在信号平方可积或平方可和（即有限能量）的前提下才成立。但“永远持续”的信号被处理成随机过程，就需要使用基于期望值的与之不同的定义。对于宽平稳随机过程，自相关函数定义为 formula_24 formula_25 对于非平稳过程，这些也会是 formula_26 或者 formula_27 的函数。对于还是的过程, 期望会被换成时间平均的极限。各态历经过程的自相关函数有时定义为或等于 formula_28 formula_29 这些定义的优点是，它们合理定义了周期函数的单变量结果，甚至当那些函数不是平稳各态历经过程时。此外，「永远持续」的信号可以通过短时距自相关函数使用有限时间积分来处理（相关过程参见短时距傅立叶变换。）多维自相关定义类似。例如，在三维中，平方可和的离散信号的自相关就会是 formula_30 若在求自相关函数之前从信号中减去均值，得出的函数通常称为自协方差函数。自相关函数的性质. 以下以一维自相关函数为例说明其性质，多维的情况可方便地从一维情况推广得到。当f为实函数时，有： formula_31 当f是复函数时，该自相关函数是厄米函数，满足： formula_32 其中星号表示共轭。 formula_34 formula_35 formula_36 formula_37 自相关函数举例. 白噪声的自相关函数为"δ"函数： formula_38

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