外测度
在数学中，特别是测度论中，外测度是一个定义在给定集合上的扩展实数值的函数，并满足几条附加条件。一般的外测度理论由C. Carathéodory引进，目的是给可测集和可数可加测度的理论建立基础。C. Carathéodory关于外测度上所做的工作应用于测度理论中的集合论上（例如外测度用于证明Carathéodory扩张定理）。豪斯多夫也用此来定义一个类似维数的度量，现在称为豪斯多夫维数。
从长度，面积及体积归纳出来的测度概念，对于很多抽象不规则的集合是很有用的。我们希望定义一个广义的测度函数formula_1,使其满足以下4个条件：
formula_13。
事实上，这几条要求是不相容的。这样的测度函数 formula_1不能定义在formula_5的所有子集上，也就是说，不可测集是存在的。构造外测度的目的就是选出那些可测集合，使得可数可加性得到满足。
定义.
外测度是从 formula_11 的幂集合映到 formula_17的函数
formula_18
且满足以下条件：
formula_19
formula_20
formula_22
接著可以借由外测度来定义 "X" 中的可测集合：子集合 formula_23 是 formula_24-可测的，当且仅当对 formula_11 的任意子集合 formula_6 有：
formula_27
所有的 formula_1-可测集合构成了一个formula_29-代数 ，且如果 formula_1限制在我们刚定义的可测集合上时，formula_1 会有可数可加的完备测度性质。这个方法是Carathéodory构造出来的，是构造勒贝格测度和积分理论的重要方法。
外测度与拓扑学.
假设 formula_32是一个度量空间且 formula_24是一个在 formula_11之上的外测度。若 formula_24有以下性质 ：
只要
formula_36
就有
formula_37
那么称formula_24是一个度量外测度。
如果formula_24是formula_11上的度量外测度，那么formula_11的每个Borel子集都是formula_24-可测的。
外测度的构造.
有几种方法来构造一个集合上的外测度。下面两种是特别有用的。
令formula_11为一集合，formula_44是formula_11的包含空集的子集族，formula_46是formula_44上的非负扩展实数值函数，且formula_46 在空集处取零。
那么定义
formula_49
则formula_50是一个外测度。
另一种方法在度量空间上更有效，因为它直接得到了度量外测度。设 formula_32是一个度量空间，formula_44是formula_11的包含空集的子集族，formula_46是formula_44上的非负扩展实数值函数，且formula_46在空集处取零。那么，对任意formula_57，令
formula_58
及
formula_59
对formula_60有formula_61 成立，因为formula_62减小时，下确界是在更小的集合上取得的。所以
formula_63
存在（可能是无穷大）。
这样构造的formula_64是一个度量外测度。这个构造也就是定义豪斯多夫维数时用的外测度。
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