微分形式
微分形式（）是多变量微积分，微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式，及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法，都是由法国数学家埃里·嘉当引入的。
例如，一元微积分中的表达式"f"("x") "dx"是1-形式的一个例子，并且可以在"f"定义域内的一个区间["a", "b"]上进行积分：
formula_1
类似地，表达式"f"("x", "y", "z") "dx" ∧ "dy" + "g"("x", "y", "z") "dz" ∧ "dx" + "h"("x", "y", "z") "dy" ∧ "dz"是2-形式的一种，它在可定向曲面"S"上有曲面积分:
formula_2
符号∧表示两个微分形式的外积，有时候也称为"楔积"。类似地，3-形式"f"("x", "y", "z") "dx" ∧ "dy" ∧ "dz"表示可以在空间的一个区域进行积分的体积元。一般地，k-形式是一个可以在k-维集合上进行积分的对象，并且其坐标微分是k次齐次的。
简介.
我们从R"n"中的开集的情形开始。一个0-形式（0-form）定义为一个光滑函数"f".
当我们在R"n"的"m"-维子空间"S"上对函数"f"积分时，我们将积分写作：
formula_3
把"dx"1, ..., "dx""n"当作形式化的对象，而非让积分看起来像个黎曼和的标记。我们把这些和他们的负−"dx"1, ..., −"dx""n"叫做基本1-形式。
我们再在其上定义一种乘法规则楔积，这种乘法只需满足反交换的条件：
对所有"i","j"
formula_4
注意这意味着
formula_5.
我们把这些乘积的集合叫做"基本"2-"形式"，类似的我们定义乘积
formula_6
的集合为"基本'3"-形式，这里假定"n"至少为3。现在定义一个"单项式'k"-形式为一个0-形式乘以一个基本的"k"-形式，定义"k"-形式为一些单项式"k"-形式的和。
楔积可以推广到这些和上：
formula_7
formula_8
等等，这里"dx""I"和类似的项表示"k"-形式。换句话说，和的积就是所有可能的积的和。
现在，我们来定义光滑流形上的"k"-形式。为此，我们假设有一个开坐标覆盖。我们可以在每个坐标邻域上定义一个"k"-形式；一个全局的"k"-形式就是一组坐标领域上的"k"-形式，他们在坐标邻域的交集上一致。这种"一致"的精确定义，见流形。
楔积的性质.
若"f", "g","w"为任意微分形式，则
formula_9
若"f"为"k"-形式，"g"为"l"-形式：
formula_10
抽象（简明）定义及讨论.
在微分几何中，"k"阶微分k-形式是一个流形的余切丛的"k"阶外幂（exterior power）的光滑截面。在流形的每一点"p",一个"k"-形式给出一个从切空间的"k"阶笛卡儿幂（cartesian power）到R的多线性映射。
例如，光滑函数（0-形式）的微分就是一个1-形式。
1-形式在张量的坐标无关表示中是一个很有用的基本概念。在这个上下文中，他们可以定义为向量的实值函数，并可以看成他们所对应的向量空间的对偶空间。1-形式的一个旧称就是"协变向量"。
微分形式的积分.
"k"阶微分形式可以在"k"维链（chain）上积分。若"k" = 0,这就是函数在点上的取值。其他的"k" = 1, 2, 3, ...对应于线积分，曲面积分，体积分等等。
设
formula_11
为一微分形式，设"S"为一个我们想在其上积分的集合，其中"S"有参数化形式
formula_12
u属于参数域"D"。则[Rudin, 1976]定义"S"上微分形式的积分为
formula_13
其中
formula_14
是雅可比矩阵的行列式。
参见斯托克斯定理（Stokes' Theorem）。
微分形式的操作.
一个流形上所有"k"-形式的集合是一个向量空间。而且，其上有三类操作：楔积, 外微分（用"d"表示），和李导数。"d"2 = 0,细节请见德拉姆上同调。
外导数和积分的基本关系由推广的斯托克斯定理给出，它也同时给出了德拉姆上同调和链的同调的对偶性。
生成维基百科快照图片，大概需要3-30秒！
如果网站内容有侵犯您的版权
请联系：pinbor@iissy.com
请联系：pinbor@iissy.com
Copyright ©2014 iissy.com, All Rights Reserved.