纤维-{束（fiber bundle 或 fibre bundle）又称纤维-{丛，在数学上，特别是在拓扑学中，是一个局部看来像直积空间，但是整体可能有不同的结构。每个纤维丛对应一个连续满射 formula_1 "E" 和乘积空间 "B" × "F"　的局部类似性可以用映射 formula_2 来说明。也就是说：在每个　"E"　的局部空间 formula_3，都存在一个相同的"F"（"F"　称作纤维空间），使得 formula_2 限制在 formula_3 上时　与直积空间　"B" × "F"　的投影　formula_6　相似。（通常会用此满射：π : "E" → "B"　来表示一个纤维丛，而忽略"F" ） 如果　formula_7，也就是一个可以整体上等于乘积空间的丛叫做平凡丛（trivial bundle）。 纤维丛扩展了向量丛(vector bundle)，向量丛的主要实例就是流形的切丛（tangent bundle）。他们在微分拓扑和微分几何领域有着重要的作用。他们也是规范场论的基本概念。 正式定义. 一个纤维丛由四元组（"E", "B", π, "F"）组成，其中"E", "B", "F"　是拓扑空间而π : "E" → "B"　是一个连续满射，满足下面给出的局部平凡（local triviality）条件。"B" 称为丛的基空间（base space），"E" 称为总空间（total space）,而"F" 称为纤维（fiber）。映射π 称为投影映射.下面我们假定基空间"B" 是连通的。 我们要求对于"B" 中的每个点 "x",存在一个在 "B" 中 包含 "x" 的开邻域"U"，并有一个同胚映射 φ:π−1（"U"）→ "U" × "F" (显然　"U" × "F"　是一个乘积空间) ，φ 并且要满足 formula_8，也就是下图是可交换的： 其中 proj1 : "U" × "F" → "U" 是自然投影而 φ : π−1("U") → "U" × "F" 是一个同胚（这里的局部平凡条件有些书会定义为 formula_9）。所有{("U""i", φ"i")} 的集合称为丛的局部平凡化。 对于 "B" 中每点 "p"，原象（preimage）π−1("p") 和 "F" 同胚并称为点 "p" 上的纤维.一个纤维丛（"E", "B", π, "F"）经常记为 formula_10 以引入一个空间的短恰当序列。注意每个纤维丛 π : "E" → "B" 都是一个开映射，因为积空间的投影是开映射。所以 "B" 有由映射π决定的商拓扑(quotient topology). 一个光滑纤维丛是一个在光滑流形的范畴内的纤维丛。也就是，"E", "B", "F"都必须是光滑流形且所有上面用到的函数都必须是光滑映射。 例子. 令"E" = "B" × "F"并令π : "E" → "B"为对第一个因子的投影，则"E"是"B"上的丛.这里"E"不仅是局部的积而且是整体的积。任何这样的纤维丛称为平凡丛. 最简单的非平凡丛的例子可能要算莫比乌斯带（Möbius strip）.莫比乌斯带是一个以圆为基空间"B"并以线段为纤维"F"的丛。对于一点formula_11的邻域是一段圆弧；在图中，就是其中一个方块的长。原象formula_12在图中是个（有些扭转的）切片，4个方块宽一个方块长。同胚φ把"U"的原象映到柱面的一块：弯曲但不扭转. 相应的平凡丛"B" × "F"看起来像一个圆柱，但是莫比乌斯带有个整体上的扭转。注意这个扭转只有整体上才能看出来；局部看来莫比乌斯带和圆柱完全一样（在其中任何一个竖直的切一刀会产生同样的空间）。 一个类似的非平凡丛是克莱因瓶，它可以看作是一个"扭转"的圆在另一个圆上的丛。相应的平凡丛是一个环，"S"1 × "S"1。 一个覆盖空间是一个以离散空间为纤维的纤维丛。 纤维丛的一个特例，叫做向量丛,是那些纤维为向量空间的丛（要成为一个向量丛，丛的结构群—见下面—必须是一个线性群）。向量丛的重要实例包括光滑流形的切丛和余切丛。 另一个纤维丛的特例叫做主丛。更多的例子参看该条目。 一个球丛是一个纤维为n维球面的纤维丛。给定一个有度量的向量丛（例如黎曼流形的切丛），可以构造一个相应的"单位球丛",其在一点"x"的纤维是所有"E""x"的单位向量的集合. 截面. 纤维丛的截面（section或者cross section）是一个连续映射"f" : "B" → "E"使得π("f"("x"))="x"对于所有"B"中的"x"成立。因为丛通常没有全局有定义的截面，理论的一个重要作用就是检验和证明他们的存在性。这导致了代数拓扑的示性类理论。 截面经常只被局部的定义（特别是当全局截面不存在时）。纤维丛的局部截面是一个连续映射"f" : "U" → "E"其中"U"是一个"B"中的开集而π("f"("x"))="x"对所有"U"中的"x"成立。若（"U", φ）是一个局部平凡化图，则局部截面在 "U"上总是存在的。这种截面和连续映射"U" → "F"有1-1对应。截面的集合组成一个层（sheaf）。 结构群和转移函数. 纤维丛经常有一个对称群描述重叠的图之间的相容条件。特别的，令"G"为一个拓扑群，它连续的从左边作用在纤维空间"F"上。不失一般性的，我们可以要求"G"有效的作用在"F"上，以便把它看成是"F"的同胚群。纤维丛的一个"G"-图册（"E", "B", π, "F"）是之前定义过的"局部平凡化"并且满足：对任何两个重叠的局部平凡化中的元素也就是图（"U""i", φ"i"）和（"U""j", φ"j"）且 formula_13，则函数 formula_14 是由以下方式给出： formula_15 其中 formula_16 是一个称为转移函数（transition function）的连续映射。两个"G"-图册是等价的如果他们的联集也是"G"-图册。一个"G"-丛是有"G"-图册等价类的纤维丛。群"G"称为该丛的结构群（structure group）。 在光滑范畴中，一个"G"-丛是一个光滑纤维丛，其中"G"是一个李群而相应的在"F"上的作用是光滑的并且变换函数都是光滑映射。 转移函数"t""ij"满足以下条件 第三个条件用到三个相交的 formula_20上叫做上链条件（cocycle condition，见Čech上同调）。 一个主丛是一个"G"-丛，其纤维可以认为是"G"本身，并且有一个在全空间上的"G"的右作用保持纤维不变。