活动标架法

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活动标架法

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数学上，光滑流形上的标架可以理解为从一点到一点变化的标架。给定一个这样的流形"M"和一个其中的点"P"，在"P"点的一个标架表示一个"M"在"P"点的切空间的向量空间基底。也就是说，若"M"维数为"n"，我们给定"n"个切向量"t"1, ..., "t""n"，属于"M"在"P"的切空间，而且线性独立。在"P"的某个邻域"U"的一个活动标架要求我们给定 "T"1, ..., "T""n" 每个都是定义在"U"上的向量场，全都假设为作为"Q"的函数在"U"中光滑，并且在每一点"Q"线性无关（为简单起见假设"M"处处维数为"n"）。用非常一般的术语来讲，这样一个活动标架是广义相对论中的一个观测者的要求，在那里每个从"P"到附近点的连续对"t"i的选择都是平等的。而狭义相对论中，"M"被取为一个四维的向量空间"V"。在那种情况下，"t"i可以简单的从"P"平移到其它点"Q"。在相对论和黎曼几何中，最重要的活动标架是"正交"和"单位正交"标架，也就是在每一点（单位长度的）互相垂直的向量的有序集。在给定一点"P"可以通过正交化将任意标架变成正交；事实上，这可以以光滑的方式达到，因而一个活动标架的存在也就隐含了活动正交标架的存在。活动标架在"M"上局部的存在性是很显然的，这可以由流形的切丛是一个向量丛，需要满足局部平凡的条件得到；但是在"M"上的全局存在性要求拓扑条件的满足。例如，当"M"是一个圆圈，或者是一个环，这样的标架存在；但是当"M"是一个二维球时却不存在。存在一个全局活动标架的流形称为可平行化的，其等价于M的切丛TM是平凡的。注意，例如将纬度和经度的单位方向作为地球表面上的活动标架在北极和南极会有问题。埃里·嘉当的活动标架法基于对于所研究的特定问题取一个相应的活动标架。例如，给定一个空间中的曲线，曲线的前三个导数通常可以给出其上一点一个标架(参看定量的形式参看挠率-它假设挠率非0）。更一般地，活动标架的抽象含义是将切丛作为一个向量丛时，其伴随丛主丛"GLn"的一个截面。一般的嘉当方法利用了这点，并在嘉当联络中讨论。对于球面只有formula_1、formula_2和formula_3是可平行化的，其中formula_1和formula_2的可平行化性质可以从他们拓扑等价于李群formula_6和formula_7看出。光滑李群的切丛光滑同胚于李群本身与李代数的直积，因此必然是平凡的。

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