雅可比矩阵
在向量分析中，雅可比矩阵（也称作Jacobi矩阵，）是函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。
当其为方形矩阵时，其行列式称为雅可比行列式（Jacobi determinant）。要注意的是，在英文中雅可比矩阵跟雅可比行列式都可称作Jacobian。
其重要性在于，如果函数 f : ℝ"n" → ℝ"m" 在点 x 可微的话，在点 x 的雅可比矩阵即为该函数在该点的最佳线性逼近，也代表雅可比矩阵是单变数实数函数的微分在向量值多变数函数的推广，在这种情况下，雅可比矩阵也被称作函数 f 在点 x 的微分或者导数。
在代数几何中，代数曲线的"雅可比行列式"'表示：伴随该曲线的一个代数群，曲线可以嵌入其中。
它们全部都以普鲁士数学家卡尔·雅可比命名。
雅可比矩阵.
假设某函数从 f : ℝ"n" → ℝ"m"， 从 x ∈ ℝ"n" 映射到 向量 f(x) ∈ ℝ"m"， 其雅可比矩阵是一 "m"×"n" 的矩阵，换句话讲也就是从 ℝ"n" 到 ℝ"m" 的线性映射，其重要意义在于它表现了一个多变数向量函数的最佳线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于单变数函数的导数。
此函数 f 的雅可比矩阵 J 为 "m"×"n" 的矩阵，一般由以下方式定义：
formula_1
矩阵的分量可表示成：
formula_2
雅可比矩阵的其他常用符号还有：
formula_3、 formula_4、formula_5 或者 formula_6
此矩阵的第 formula_7行; 列;是由函数 formula_8 的梯度函数所表示的，formula_9 。
如果 formula_10是formula_11 中的一点，formula_12在 formula_10点可微分，根据数学分析， formula_14是在这点的导数。在此情况下，formula_14这个线性映射即 formula_12 在点 formula_10附近的最优线性逼近，也就是说当 formula_18足够靠近点 formula_10时，我们有
formula_20
讲更详细点也就是：
formula_21
其中，"o" 代表小o符号，‖x − p‖ 为 x 与 p 之间的距离。
例子.
例一.
由球坐标系到直角坐标系的转化由 F: ℝ+ × [0, "π") × [0, 2"π") → ℝ3 函数给出，其分量为：
formula_22
此坐标变换的雅可比矩阵是
formula_23
其雅可比行列式为 "r"2 sin "θ"。以体积元变换为例，由于 d"V"
d"x" d"y" d"z"，如果做变数变换，则其体积元（Volume element，d"V"），会变成：d"V"
"r"2 sin "θ" d"r" d"θ" d"φ"。
例二.
F : ℝ3 → ℝ4，其各分量为
formula_24
formula_25
formula_26
formula_27
其雅可比矩阵为:
formula_28
此例子说明雅可比矩阵不一定为方阵。
在动力系统中.
考虑形为 formula_29的动力系统，formula_30。如果 formula_31，那么 formula_32是一个临界点。系统接近临界点时的行为跟 formula_33的特征值相关。
雅可比行列式.
如果 "m" = "n"，那么 "F" 是从 ℝ"n" 映射到 ℝ"n" 的函数，且它的雅可比矩阵是一个方阵。于是我们可以取它的行列式，称为雅可比行列式。
在某个给定点的雅可比行列式提供了 "F" 在接近该点时的表现的重要资讯。例如，如果连续可微函数 "F" 在 "p" 点的Jacobi行列式不等于零，那么它在该点附近有 "F" 的反函数。这称为反函数定理。更进一步，如果 "p" 点的Jacobi行列式是正数，则 "F" 在 "p" 点保持定向（preserves orientation）；如果是负数，则 "F" 逆转定向（reverses orientation）。而从Jacobi行列式的绝对值，就可以知道函数 "F" 在 "p" 点附近是放大或缩小体积；这就是它出现在换元积分法中的原因。
例子一.
设有函数 "F" : ℝ3 → ℝ3，其分量为：
formula_34
formula_35
formula_36
则它的Jacobi行列式为：
formula_37
从中我们可以看到，当 "x"1 和 "x"2 同号时，"F" 逆转定向；该函数处处具有反函数，除了在 "x"1
0 或 "x"2
0 的点。
例子二.
这是一个与巴塞尔问题formula_38较为相似的级数formula_39的求解方法，首先可以转化为二重积分（在这里 "D"1 指 "x" 与 "y" 皆为从 0 到 1 的正方形区域）：
formula_40
此时定义映射 "F" : ℝ2 → ℝ2，满足：
formula_41
于是有相应的雅可比行列式：
formula_42
因此formula_43，并且将正方形 "D"1 映射成 "u">0、"v">0、"u"+"v"<π/2 的等腰直角三角形，记为 "D"2，得到：
formula_44
逆矩阵.
根据反函数定理，一个"可逆函数"（存在反函数的函数）的雅可比矩阵的逆矩阵即为该函数的"反函数"的雅可比矩阵。即，若函数 formula_30在点 formula_46的雅可比矩阵是连续且可逆的，则 formula_47在点 formula_10的某一邻域内也是可逆的，且有
formula_49
成立。相反，倘若雅可比行列式在某一个点不为零，那么该函数在这个点的某一邻域内"可逆"（存在反函数）。
一个多项式函数的可逆性与未经证明的雅可比猜想有关。其断言，如果函数的雅可比行列式为一个非零实数（相当于其不存在复零点），则该函数可逆且其反函数也为一个多项式。
生成维基百科快照图片，大概需要3-30秒！
如果网站内容有侵犯您的版权
请联系：pinbor@iissy.com
请联系：pinbor@iissy.com
Copyright ©2014 iissy.com, All Rights Reserved.