二元关系

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二元关系

二元关系数学上，二元关系（，或简称关系）用于讨论两种物件的连系。诸如算术中的「大于」及「等于」、几何学中的「相似」或集合论中的「为……之元素」、「为……之子集」。定义. 实际上是以列举二元有序对的方式去定义二元关系 formula_1 ，也就是一个集合满足或是以正式的逻辑符号表述为 formula_6 例一：有四件物件 {"球"，"糖"，"车"，"枪"} 及四个人 {"甲"，"乙"，"丙，丁"} 。若甲拥有球、乙拥有糖、丙一无所有但丁拥有车，则「拥有」的二元关系可以写为 formula_1 = {("球"，"甲"), ("糖"，"乙"), ("车"，"丁")} 其中二元有序对的第一项是被拥有的物件，第二项是拥有者。例二：实数系 formula_8 上的「大于关系」可定义为 formula_9 由于习惯上 formula_10 通常都是写为 formula_11 ，更一般来说，不引起混淆的话会把 formula_12 简写成 formula_13 。集合的关系. 集合formula_14与集合formula_15上的二元关系则定义为 formula_16 ，当中 formula_17 ( 请参见笛卡儿积 ) ，称为 formula_1 的图。若 formula_19 则称 formula_3 与 formula_4 有关系 formula_1 ，并记作 formula_13 或 formula_24 。但经常地我们把关系与其图等价起来，即若 formula_25 则 formula_1 是一个关系。话虽如此，我们很多时候索性把集合间的关系 formula_1 定义为 formula_28 而 “有序对 formula_29 ” 即是 “ formula_30 ”。特殊的二元关系. 设formula_31是一个集合，则关系矩阵. 设formula_38及formula_39，formula_1是formula_14 和formula_42上的关系，令 formula_43 则0,1矩阵 formula_44 称为formula_1的关系矩阵，记作formula_46。关系图. 设formula_47，formula_1是formula_31上的关系，令图formula_50，其中顶点集合formula_51，边集合为formula_52，且对于任意的formula_53，满足formula_54当且仅当formula_55。则称图formula_56是关系formula_1的关系图，记作formula_58。运算. 关系的基本运算有以下几种： formula_63 formula_68 formula_73 formula_78 formula_83 formula_89 formula_95 formula_98 formula_99 性质. 关系的性质主要有以下五种：在集合X上的关系R，如对任意formula_101，有formula_102，则称R是自反的。在集合X上的关系R，如对任意formula_104，有formula_105，则称R是非自反的。在集合X上的关系R，如果有formula_30且formula_108必有formula_109，则称R是对称的。非对称性是满足非自反性的反对称性。设formula_1为集合formula_31上的关系，下面给出formula_1的五种性质成立的充要条件：闭包. 设formula_1是非空集合formula_31上的关系，formula_1的自反（对称或传递）闭包是formula_31上的关系formula_138，满足一般将formula_1的自反闭包记作formula_146，对称闭包记作formula_147，传递闭包记作formula_148。下列三个定理给出了构造闭包的方法：对于有限集合formula_31上的关系formula_1，存在一个正整数formula_154，使得 formula_155 求传递闭包是图论中一个非常重要的问题，例如给定了一个城市的交通地图，可利用求传递闭包的方法获知任意两个地点之间是否有路相连通。可以直接利用关系矩阵相乘来求传递闭包，但那样做复杂度比较高；好一点的办法是在计算矩阵相乘的时候用分治法降低时间复杂度；但最好的方法是利用基于动态规划的Floyd-Warshall算法来求传递闭包。

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有序对

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