数列 数列（）是由数字组成的序列，也就是以正整数系为定义域，值域包含于某数系的函数。数列及其相关术语常用于有关递推规律的研究，而级数本身更是一种特殊的数列。 数列是特殊的序列，全部由数字组成。序列则范围更广，可以由有序的一系列数字、一系列函数、一系列矢量、一系列矩阵或一系列张量等等所组成，但有的微积分教材会用序列一词来称呼数列，读者需要自己留意。 正式定义. 考虑到最一般的数为复数，可以作如下的定义： _{i\in\N} 、 formula_1 或 formula_2 ，而 formula_3 会被简记为 formula_4 。 若 formula_5 ，则一个 formula_6 的函数被称为有限数列，可记为 formula_7 、 formula_8 或 formula_9 。 在教学上常会如下标示有限数列，来增进对定义的直观理解： formula_10 以上表达式中的每一个数被称为这个数列的「项」。formula_11 为数列的「第一项」、formula_12 为「第二项」，以此类推。formula_13 被称为有限数列的项数。数列中的第一项常称为「首项」，最后一项则称为「末项」。注意有限数列也可以设为 formula_14 ，换句话说，把 formula_15 加入数列的定义域，并以第零项 formula_16 作为首项。无穷数列只有首项，没有末项，但类似的，也有人把 formula_15 踢出无穷数列的定义域，让无穷数列的首项为 formula_11 。 数列中各个项的和称为「级数」，换句话说 _{i\in\N} ，根据集合论的公理和数学归纳法，存在唯一的无穷数列 formula_19 满足： formula_19 称为 formula_24 的级数。 一般会将 formula_19 写为 formula_26 ，甚至更直观的 formula_27 来凸显级数源于＂求和＂的直观概念。 级数的概念可以推广至数列以外的序列，比如说函数序列的。 分类. 单调性. "a""n" ，则称数列 ⟨"a""k"⟩ 为「常数数列」。 收敛性与极限. 收敛性是数列的一个重要性质。如果一个数列逐渐趋近于某一个值，就称该数列为收敛数列，否则称为发散数列。 简单的说，一个数列formula_30有极限，便是它的数列中的元素逐渐地越来越靠近formula_31（称为极限值），但是它们仍然任意得很靠近极限值formula_31，而不一定恰好相等。 举例来说：当 formula_33 时，随著n的数字增加，可以看到它逐渐趋向于0。当 formula_34时，随著n的数字增加，可以看到它逐渐趋向于2。 此外，值得注意的是，当一个数列有极限值时，它的极限值一定是唯一的。一般来说，当数列收敛，我们会记formula_35。 收敛正式定义. 我们说一个实数的数列formula_36收敛到实数formula_31，如果有对任意的formula_38 ，存在一个正整数formula_39，使得对所有的formula_40，有formula_41。 例如数列formula_42。 这就是一个等差数列，因为第二项与第一项的差和第三项与第二项的差相等，都等于formula_43与formula_44的差也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的差称之为公差，符号为formula_45，但是formula_45可为0。 若设首项formula_47，则等差数列的通项公式为formula_48。 把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，如果这个新的数列是普通等差数列，原数列就称为二阶等差数列。 由此类推，把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，再把这个新的数列的所有后项与前一项之差组成另一个新的数列，如此进行下去，直到最后的数列如果是普通等差数列，那么原数列就是多阶等差数列。 普通等差数列可以视为一阶等差数列，因而常数数列实际就是零阶等差数列。 例如数列formula_49。 这就是一个等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，都等于2，formula_50与formula_51的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比，符号为formula_52。 若设首项formula_47，则等比数列的通项公式为formula_54。 以数学符号表示，即formula_55，且对于formula_56，formula_57。 斐波那契数列的通项公式为formula_58。 数列的求和. 通常对第1项到第formula_63项求和，记为formula_64。此求和符号是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉使用和推广的。 一个特殊数列求和：奇数数列。1，3，5，7，9，...。其和为项数formula_63的平方。例如：1+3=22,1+3+5=32。 通项公式的求解. 通常，从实际问题中会先得到一个递推关系式，但是可能会难以观察出数列中某一项的项数和具体大小之间的规律。所以需要求出这个数列的通项公式。以下是一些常见的递推式化简方法。通项公式的求解在积分学、线性代数、概率论、组合数学、趣味数学、数学物理、数学建模、数值分析、分形等领域中都会遇到。没有一种解法是通用的。求不出通项公式或只能进行估算的情形也可能出现。 数学归纳法. 求出该数列的前数项，归纳其通项公式，然后用数学归纳法证明公式正确。 数学归纳法是最基本的方法，但对观察和归纳的能力要求比较高。如果猜不出规律，则不能使用此方法。 逐差全加. 给定数列差formula_66时逐差全加，例如： formula_67，formula_68, 求formula_69 formula_70 逐商全乘. 给定数列比formula_71时逐差全乘，例如： formula_67，formula_73，求formula_69 formula_75 从和式求通项. 如果已知数列和的公式，那么通项的求解非常容易。由formula_76可知formula_77 把formula_78看成一个数列，可以先对formula_78进行求解，然后得出formula_69。 换元法. 换元法用于从形式上简化表达式，以突出问题的本质。换元法一般不单独使用，而是和其它方法结合使用。中学数学中常用的有对数换元法、三角函数换元法，还有用得很少的双曲函数换元法。 不动点法. 对于形如齐次分式的递推关系，可利用不动点来推导。 已知formula_81，其中formula_82、formula_83、formula_84都是常数，求formula_69。 求这类数列的通项公式，一般的方法就是将之化成一个新的等比数列。 formula_87。 求出formula_88，那么数列formula_89就是一个等比数列，从而求出通项公式。 formula_81 formula_94 两边相减就有：formula_95，如此就化成了一个等比数列。 已知formula_96,其中formula_82、formula_83、formula_84、formula_100都为常数，求formula_69； 与上述数列一样，它们一定可以化成下面的形式： formula_102 求出对应系数，于是就转化成了前面那种形式，然后就可以求出数列formula_103的通项公式，然后求出formula_69的通项公式。实际上这是一种逐步化简的方法。 其它方法. 其它常用方法包括导数求通项法、组合数学中的母函数方法、特征方程法，这些一般是在大学课程或是部分高中的进阶课程中学到。其中特征方程法专门用于线性递推关系式的化简，与求解线性微分方程的特征方程法非常类似。