子集
子集
子集（subset）亦称部分集合，为某集合中一部分的集合；关系相反时则称作父集、母集、超集。子集与父集关系上以“包含”称呼。
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（任意 a∈A，则 a∈B），那么集合A称为集合B的子集，记为 formula_1 或 formula_2，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”。
即：formula_3，有 formula_4，则 formula_5。
若formula_6和formula_7为集合，且 "formula_6" 的所有元素都是 formula_7 的元素，则可表示为：
任何集合formula_7皆是本身的子集（formula_21）。而"formula_7"的子集中不等于 "formula_7" 的集合，称为真子集，若 "formula_6" 是 "formula_7" 的真子集，写作 formula_26。
定义.
假设有 "formula_6" 和 "formula_7" 两个集合，如果 "formula_6" 中的每个元素都是"formula_7"的元素，则：
*"formula_6" 是 "formula_7" 的子集，记作 formula_1
也可以说
*formula_7 是 "formula_6" 的超集，记作 formula_2
如果 "formula_6" 是 formula_7 的子集，但 formula_6 不等于 formula_7（即 formula_7 中至少存在一个元素不在 formula_6 集合中），则：
*formula_6 是 formula_7 的真子集，记作 formula_45
也可以说
*formula_7 是 "formula_6" 的真超集，记作 formula_48
符号.
ISO 80000-2 标准中定义了两种符号搭配：
性质.
命题1：空集是任意集合的子集。
这个命题说明：包含是一种偏序关系。
命题2：若 formula_61 是集合，则：
自反性：
*formula_62
反对称性：
*formula_14且formula_64当且仅当formula_65
传递性：
*若formula_14且formula_67则formula_68
这个命题说明：对任意集合 formula_69，"formula_69" 的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。
命题3：若 formula_61 是集合 "formula_69" 的子集，则：
存在一个最小元和一个最大元：
*formula_73（ formula_74由命题1给出）
存在并运算：
*formula_75
*若formula_68且formula_67则formula_78
存在交运算：
*formula_79
*若 formula_80 且 formula_81 则 formula_82
命题4:对任意两个集合 formula_6 和 formula_7，下列表述等价：
*formula_14
*formula_86
*formula_87
*formula_88
*formula_89
这个命题说明：表述"formula_14"，和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。
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