实函数

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实函数（Real function），指定义域和值域均为实数集的子集的函数。实函数的特性之一是可以在坐标平面上画出图形。定义. 一个实函数 "f" 是一个把实数（一般以 "x" 表示）映射到另一实数（函数的值，一般以 "f"("x") 表示）的函数。换句话说，实函数是一个函数 formula_1，当中 formula_2 是 formula_3 一个包含至少一个开集的子集（可以等于 formula_3）。定义于所有非负实数的平方根函数便是一个例子：formula_5，当中 formula_6 是所有非负实数的集合及对所有 formula_7，formula_8。定义域. 一个实函数的定义域未必总是明确写出。对任一定义域为 "X" 的实函数 "f" 和任一 "X" 的子集 "Y"，可定义 "f" 对 "Y" 的限制函数 "Y"。其定义域为 "Y" 而对所有 "Y" 的元素，函数的取值维持不变。若 "Y" 是 "X" 的真子集，这两个函数理论上并不相同，但往往可将两者视为等同。相反，有时函数的定义域可透过解析延拓或利用函数的连续性扩大。由此可见，明确指出实函数的未必有明显价值。像与值域. 函数 "f" 的值域是指当 "x" 可取定义域内任何值时，"f"("x") 所有可能取值的集合。若 "f" 是连续实函数而其定义域是一个区间，那么它的值域也会是一个区间（除非 "f" 是常数函数，此时其值域将是一点）。对任何实数 "y"，方程式 "y" "f"("x") 所有实数解的集合称为 "y" 的原像。代数结构. 实函数之间的运算可如下定义：由此，所有定义于全部实数和所有定义于某一特定区间的实函数分别组成 formula_3 上的结合代数（也因此组成一个向量空间），其中加法和乘法单位元分别为常数函数 formula_13 及 formula_14。虽然对任意实函数 "f" 可定义 formula_15，但由于此函数的定义域不包含所有使得 "f"("x")=0 的 "x" 值，它不一定等于 "f" 的定义域，所以上述代数结构不构成一个体。

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