重定向;重新导向;字符;字元;文件; 档案;快捷方式; 捷径;项目;专案;计划;计划;计划;计算机; 电脑; 电脑; 变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。 变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。 变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄利克雷原理。 同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，莫尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为普拉托问题。 历史. 变分法可能是从约翰·伯努利（1696）提出最速曲线（brachistochrone curve）问题开始出现的。它立即引起了雅各布·伯努利和洛必达（Marquis de l'Hôpital）的注意。但欧拉首先详尽的阐述了这个问题。他的贡献始于1733年，他的《变分原理》（Elementa Calculi Variationum）寄予了这门科学这个名字。欧拉对这个理论的贡献非常大。 勒让德（1786）确定了一种方法，但在对极大和极小的区别不完全令人满意。牛顿和莱布尼茨也是在早期关注这一学科，对于这两者的区别Vincenzo Brunacci（1810）、高斯（1829）、泊松（1831）、Mikhail Ostrogradsky（1834）、和雅可比（1837）都曾做出过贡献。Sarrus（1842）的由柯西（1844）浓缩和修改的是一个重要的具有一般性的成就。Strauch（1849）、Jellett（1850）、Otto Hesse（1857）、Alfred Clebsch（1858）、和Carll（1885）写了一些其他有价值的论文和研究报告，但可能那个世纪最重要的成果是Weierstrass所取得的。他关于这个理论的著名教材是划时代的，并且他可能是第一个将变分法置于一个稳固而不容置疑的基础上的。1900年希尔伯特发表的23个问题中的第20和23个问题促进了其更深远的发展。 在20世纪希尔伯特、埃米·诺特、列奥尼达·托内利、昂利·勒贝格和雅克·阿达马等人做出重要贡献。Marston Morse将变分法应用在莫尔斯理论中。Lev Pontryagin、Ralph Rockafellar和Clarke广义变分法最优控制理论发展了新的数学工具。 欧拉-拉格朗日方程. 在理想情形下，一函数的极大值及极小值会出现在其导数为formula_1的地方。同样地，求解变分问题时也可以先求解相关的欧拉-拉格朗日方程。以下以寻找连接平面上两点formula_2和formula_3最短曲线的例子，说明求解的过程。曲线的长度为 formula_4 其中 formula_5 formula_6 formula_7。 函数formula_8至少需为一阶可微的函数。若formula_9是一个局部最小值，而formula_10是一个在端点formula_11及formula_12取值为零并且至少有一阶导数的函数，则可得到以下的式子 formula_13 其中formula_14为任意接近formula_1的数字。 因此formula_16对formula_17的导数（A的一阶导数）在formula_18时必为formula_1： formula_20 此条件可视为在可微分函数的空间中，formula_21在各方向的导数均为formula_1。若假设formula_9二阶可微（或至少弱微分存在），则利用分部积分法可得 formula_24 其中formula_10为在两端点皆为0的任意二阶可微函数。这是变分法基本引理的一个特例： formula_26， 其中formula_10为在两端点皆为formula_1的任意可微函数。 若存在formula_29使formula_30，则在formula_31周围有一区间的H也是正值。可以选择formula_10在此区间外为formula_1，在此区间内为非负值，因此formula_34，和前提不合。若存在formula_29使formula_36，也可证得类似的结果。因此可得到以下的结论： formula_37， 由结论可推得下式： formula_38， 因此两点间最短曲线为一直线。 在一般情形下，则需考虑以下的计算式 formula_39， 其中"f"需有二阶连续的导函数。在这种情形下，拉格朗日量L在极值formula_9处满足欧拉-拉格朗日方程 formula_41， 不过在此处，欧拉-拉格朗日方程只是有极值的必要条件，并不是充分条件。 费马原理. 费马原理指出：光会沿着两端点之间所需光程最短的路径前进。假设formula_42为光的路径，则光程可以下式表示： formula_43， 其中折射率formula_44依材料特性而定。 若选择formula_45，则formula_46的一阶导数（formula_46对formula_14的微分）为： formula_49， 将括号中的第一项用分部积分处理，可得欧拉-拉格朗日方程 formula_50。 光线的路径可由上述的积分式而得。 斯乃尔定律. 当光进入或离开透镜面时，折射率会有不连续的变化。考虑 formula_51， formula_52， 其中formula_53和formula_54是常数。在"x"0的区域，欧拉-拉格朗日方程均和以上描述的相同。因为折射率在二个区域均为定值，在二个区域光都以直线前进。而在"x"=0的位置，"f"必须连续，不过"f' "可以不连续。在上述二个区域用分部积分的方式解欧拉-拉格朗日方程，则其变分量为 formula_55。 和formula_53相乘的系数是入射角的正弦值，和formula_54相乘的系数则是折射角的正弦值。若依照斯涅尔定律，上述二项的乘积相等，因此上述的变分量为0。因此斯涅尔定律所得的路径也就是要求光程一阶变分量为0的路径。 费马原理在三维下的形式. 费马原理可以用向量的形式表示：令formula_58，而"t"为其参数，formula_59是曲线"C"参数化的表示，而令formula_60为其法线向量。因此在曲线上的光程长为 formula_61。 上述积分和t无关，因此也和"C"的参数表示方式无关。使曲线最短的欧拉-拉格朗日方程有以下的对称形式 formula_62， 其中 formula_63。 依P的定义可得下式 formula_64。 因此上述积分可改为下式 formula_65。 依照上式，若可以找到一个函数ψ，其梯度为"P"，则以上的积分"A"就可以由在积分端点上ψ的差求得。以上求解曲线使积分量不变的问题就和ψ的level surface有关。为了要找到满足此条件的函数ψ，需要对控制光线传动的波动方程式进行进一步的研究。 应用. 最优控制的理论是变分法的一个推广。 外部链接.