格 (数学) 在数学中，格（）是其非空有限子集都有一个上确界（称为并）和一个下确界（称为交）的偏序集合（poset）。格也可以特征化为满足特定公理恒等式的代数结构。因为两个定义是等价的，格理论从序理论和泛代数二者提取内容。半格包括了格，依次包括海廷代数和布尔代数。这些"格样式"的结构都允许序理论和抽象代数的描述。 需要注意的是，本条目介绍的是序理论中的“格”，-{zh-hans:并; zh-hant:并;}-非几何与群论中的“格（群论）”（点阵），两者的英文均为“lattice”。虽然在继承自平面的次序中，每个点阵都是格，但是许多格不是点阵。 序理论定义. 考虑任意一个偏序集合（"L",≤），如果对集合L中的任意元素a,b，使得a,b在L中存在一个最大下界，和最小上界，则("L",≤)是一个格。 这里对于取a,b的最大下界的操作用formula_1表示； 对于取a,b的最小上界操作用 formula_2表示。 有界格有一个最大元素和一个最小元素，按惯例分别指示为1和0（也叫做顶和底）。任何格都可以通过增加一个最大元素和最小元素而转换成有界格。 使用容易的归纳论证，你可以演绎出任何格的所有非空有限子集的上确界（并）和下确界（交）的存在。一个很重要的格的种类是完全格。一个格是完全的，如果它的所有子集都有一个交和一个并，这对比于上述格的定义，这里只要求所有非空有限子集的交和并的存在。 抽象代数定义. 另一种定义格的方式是将格定义为一种代数结构。一个格是一个代数结构formula_3，其中formula_4和formula_5是定义在集合formula_6上的二元运算，且对于所有的formula_7满足： 从上述三个公理恒等式可以得出重要的： 这些公理断言了("L",formula_4)和("L",formula_5)都是半格。吸收律是唯一交和并都出现了的公理，把格同一对半格区别开来-{zh-hans:并; zh-hant:并;}-确保这两个半格正确的交互。特别是，每个半格都是另一个半格的对偶。“有界格”要求交和并都有一个零（neutral）元素，分别习惯叫做1和0。参见半格条目。 格与广群家族有一些联系。因为交和并都符合交换律和结合律。格可以看作由有相同的承载者的两个交换半群组成的。如果格是有界的，这些半群也是交换幺半群。吸收律是特定于格理论的唯一定义恒等式。 "L" 闭包于交和并之下，通过归纳，蕴涵了"L"的任何有限子集的交和并的存在性，有着一个例外：空集的交和并分别是最大元素和最小元素。所以格只在它是有界的条件下包含所有有限（包含空）交和并。为此有些作者定义格的时候要求0和1是"L"的成员。而以这种方式定义格不损失一般性，因为任何格都可以被嵌入一个有界格中，这里不接受这种定义。 格的代数解释在泛代数中扮演根本性角色。 两个定义的等价性. 格的代数定义蕴涵了序理论的定义，反之亦然。 明显的，序理论的格引发了两个二元运算formula_4和formula_5。容易看出这些运算使("L", formula_4, formula_5)变成代数意义上的格。反之亦真：考虑代数定义的格("M", formula_4, formula_5)。现在定义在"M"上的偏序≤如下，对于"M"中的元素"x"和"y" "x" ≤ "y" 当且仅当"x" = "x"formula_5"y" 或等价的 "x" ≤ "y"当且仅当"y" = "x"formula_4"y" 吸收律确保了两个定义实际上是等价的。你现在可以检查以这种方式介入的关系≤定义了在其中二元交和并是通过最初运算formula_4和formula_5而给出的一个偏序。反过来，由得出自上述序理论公式的代数定义的格（"L", formula_4, formula_5）引发的次序一致于"L"的最初次序。 因为格的两个定义是等价的，你可以随意调用任何定义的适合你用的方面。 格的态射. 在两个格之间的适当的态射概念可以轻易的同上述代数定义得出。给定两个格（"L", formula_4, formula_5）和（"M", formula_24, formula_25），"格的同态"是一个函数"f" : "L" → "M"使得 "f"("x"formula_4"y") = "f"("x") formula_24 "f"("y")， "f"("x"formula_5"y") = "f"("x") formula_25 "f"("y")。 所以"f"是两个底层半格的同态。当考虑带有更多结构的格的时候，这个态射也应当注意这个额外结构。所以在两个有界格"L"和"M"之间的态射"f"还有下列性质： "f"(0"L") = 0"M"， "f"(1"L") = 1"M"。 在序理论公式中，这些条件只声称格的同态是保持二元交和并的一个函数。对于有界格，最小和最大元素的保持只是空集的并和交的保持。 格的任何同态必然关于相关的次序关系是单调的；参见极限的保持。反过来当然不是真的：单调性决不蕴涵要求的保持性质。 假定同构作为可逆态射的标准定义，格的同构就是双射格同态。格和它们的态射形成了一个范畴。 子格. 格"L"的子格是"L"的非空子集，它是带有同"L"一样的交和并运算的格。就是说，如果"L"是一个格，而"M"formula_30是"L"的子集使得对于"M"中的所有元素对"a", "b"有"a"formula_5"b"和"a"formula_4"b"在"M"中，则"M"是"L"的子格。 格"L"的子格"M"是"L"的凸子格，如果"x ≤ z ≤ y"和"x", "y"在"M"中蕴涵了"z"属于"M"，对于在"L"中的所有元素"x, y, z"。 对偶原理. 设formula_33是含有格中的元素以及符号formula_34的逻辑命题，令formula_35是将formula_33中的formula_37替换为formula_38，将formula_38替换为formula_37，将formula_4替换为formula_5，将formula_5替换为formula_4后所得到的命题。则称formula_35是formula_33的对偶命题。 设formula_33是含有格中的元素以及符号formula_34的逻辑命题，若formula_33对于一切格为真，则formula_33的对偶命题formula_35也对于一切格为真。 引用. 可在线免费获得的专著： Elementary texts recommended for those with limited mathematical maturity: The standard contemporary introductory text: The classic advanced monograph: Free lattices are discussed in the following title, not primarily devoted to lattice theory: The standard textbook on free lattices: