五角数
五角数
五边形数是能排成五边形的多边形数。其概念类似三角形数及平方数，不过五边形数和三角形数及平方数不同，所对应的形状没有旋转对称（Rotational symmetry）的特性。
第formula_1个五边形数可用以下公式求得
formula_2
且formula_3。
首几个五边形数为...（OEIS数列），其奇偶排列是「奇奇偶偶」。
第formula_1个五边形数是第formula_5个三角形数的formula_6。首formula_1个五边形数的算术平均数是第formula_1个三角形数。
五边形数测试.
利用以下的公式可以测试一个正整数"x"是否是五边形数（此处不考虑广义五边形数）：
formula_9
用五边形数的和来表示整数.
依照费马多边形数定理，任何整数都可以表示为不超过5个五边形数的和。但大多数的整数都可以表示不超过3个五边形数的和。在小于formula_10的整数中，只有以下6个整数需用5个五边形数的和来表示：
9, 21, 31, 43, 55, 89 （OEIS数列）
广义五边形数.
广义五边形数的公式和五边形数相同，只是n可以为负数和零，n 依序为0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4...，广义五边形数也可以用下式表示：
formula_11
n 依序为0, 1, 2, 3, 4...，
其产生的数列如下：
0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... ()
在欧拉的整数分拆理论中，五边形数定理说明广义五边形数和整数分拆的关系。
用第n个五边形数（n>2）排列组成的正五边形，外围点的个数有formula_12个，因此在内部的点个数为：
formula_13
刚好也是一个广义五边形数。
所有的整数都可以表示成不超过3个广义五边形数的和。
若三角形数可以被3整除，则除以3之后的数必为广义五边形数。
广义五边形数和中心六边形数.
广义五边形数和中心六边形数有密切的关系。将中心六边形数以阵列的方式排出，并且从中间将正六边形分为二个梯形，较大的梯形可以表示为五边形数，而较小的梯形可以表示为广义五边形数，因此中心六边形数可以表示为二个广义五边形数的和（五边形数也是广义五边形数的一种）：
一般来言：
formula_14
等式右侧为二个广义五边形数，且第一项是五边形数("n" ≥ 1)。
外部连结.
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