微分流形

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微分流形

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光滑流形（），或称C∞-微分流形（-- ）、C∞-可微流形（-- ），是指一个被赋予了光滑结构的拓扑流形。一般的，如果不特指，微分流形或可微流形指的就是C∞类的微分流形。可微流形在物理学中非常重要。特殊种类的可微流形构成了经典力学、广义相对论和杨-米尔斯理论等物理理论的基础。可以为可微流形开发微积分。可微流形上的微积分研究被称为微分几何。历史. 微分几何（differential geometry）作为一个独特的学科的出现一般归功于高斯（Carl Friedrich Gauss）和黎曼（ Bernhard Riemann）。黎曼在哥廷根的著名的康复讲座中描述了多个面向。他通过在一个新的方向上改变给定对象的直观过程激发了多方面的想法，并且预先描述了协调系统和图表在随后形式发展中的作用：在一个概念下的事例如果构成n维流形，一个流形的特色可以简单表示其属性，则化简的结果必然是有限个数字，…… - 波恩哈德·黎曼的就职演说《论作为几何学基础的假设》物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）和数学家库尔巴斯托罗（Gregorio Ricci-Curbastro）和齐维塔（Tullio Levi-Civita）的成果导入了张量分析和广义协变性的概念，它将内在几何属性识别为关于协调变换的不变量。这些想法在1912年爱因斯坦发展广义相对论理论时取得关键性的应用。外尔（Hermann Weyl）于1912年给出了微分流形的一个内在的定义。1930年代，该课题基础性方面的工作被哈斯勒·惠特尼（Hassler Whitney）等人厘清，使得从19世纪下半叶起开始发展起来的相关的直觉知识变得更精确，并通过微分几何和李群使微分流形的理论得到进一步的发展。 Cr-可微流形的定义. 设formula_1 是自然数，formula_2-维拓扑空间 formula_3 被称为是 formula_2-维 formula_5 可微流形，如果， formula_15 为一个 formula_16 到 formula_16 的 formula_5 映射。图册. formula_23 formula_19 formula_25 formula_26 formula_27 formula_28 formula_29 formula_30 formula_30 流形由卡（chart）的集合定义拓扑空间X上的图册称为卡（chart）的{("U""α", "φ""α")}的集合，其中"U"α是覆盖 X的开放集合，并且对于每个索引α formula_32 是"U"α在n维真实空间的开放子集上的同胚。图册的转移映射（transition map）功能是 formula_33 以图册来定义流形的概念是由夏尔·埃雷斯曼于1943年所提出。每个拓扑流形都有一个图册。"Ck"-atlas是一个图册，其转换图是"Ck"。拓扑流形具有"C"0-atlas，并且通常"Ck"-流形具有"Ck"-atlas。连续图册（continuous atlas）是"C"0图册，平滑图册是"C"∞图册，分析图册（analytic atlas）是"C"ω图册。替代定义. 伪群. 伪群（Pseudogroups）的概念提供了弹性的图册泛化（generalization of atlases），允许以统一的方式在流形上定义成各种不同的结构。伪群由拓扑空间S和由S的开放子集到S的其他开放子集的同态组成的集合Γ组成，使得最后三个条件类似于一个群（group）的定义。注意，Γ不必是群，因为这些函数在S上不是全域定义的。结构层. 有时使用替代方法来赋予具有"Ck"结构的流形是有用的。这里"k" = 1, 2, ..., ∞, 或ω为实分析流形（real analytic manifolds）。不考虑坐标图，可以从流形本身定义的功能开始。"M" 的结构层（structure sheaf），表示为C"k"，是一种函数，它为每个开放集"U" ⊂ "M"定义连续函数"U" → R的代数C"k"("U")。可微分函数. 在n维可微分流形 "M"上的实值函数f在点"p" ∈ "M"处被称为可微分，如果它在"p"周围定义的任何坐标图中是可微分的。更准确地说，如果("U", "φ")是卡（chart），其中"U"包含"p"，是 "M"的开集，而且"φ" : "U" → R"n"是定义卡（chart）的映射，则f是可微分的，如果且仅当 formula_36 在"φ"("p")处是可微分的。一般会有很多可用的卡（chart）；然而，可微分的定义不取决于"p"的卡（chart）的选择。从链式法则（chain rule）应用到一个卡（chart）和另一个图之间的转换函数，如果"f"在"p"的任何特定卡（chart）中都是可微分的，那么在"p"的所有卡（chart）中都是可微分的。类似的情况适用于定义"Ck"函数，平滑函数和分析函数。丛. 切线丛. 点的切空间由该点处的可能的方向导数构成，并且具有与流形相同的维数n。对于一组（非奇异）坐标"xk"在本地点，坐标导数（coordinate derivatives）formula_37确定切线空间的完整基础。余切丛. 向量空间的对偶空间（dual space）是矢量空间上的实值线性函数集合。余切空间处的一点是该点的切线空间的对偶位置，而余切丛（cotangent bundle）是所有余切空间的集合。流形结构. 黎曼流形. 黎曼流形是一个可微分的流形，切空间以微分的方式产生内积。内积结构可以称为黎曼度量（metric）。该度量可以用于互变向量和辅助向量，并定义rank 4黎曼曲率张量。黎曼流形有长度、体积和角度的概念。任何可微流形都可以被称为黎曼结构。扭对称流形. 一个共同的流形是具有封闭性的，非退化的symmetric 2-tensor形式的流形。这种情况迫使相似的流形是均匀的。在汉密尔顿力学中作为相位空间出现的反切丛（Cotangent bundles）是激励的例子，但是许多紧凑型流形也具有扭对称（symplectic）结构。参考文献.

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