微分学 微分学（）是微积分学的一部份，是通过导数和微分来研究曲线斜率、加速度、最大值和最小值的一门学科，也是探讨特定数量变化速率的学科。微分学是微积分的二个主要分支之一。 微分学主要研究的主题是函数的导数、相关的标示方式（例如微分）以及其应用。函数在特定点的导数可以说明函数在此输入值附近的变化率。寻找导数的过程即为微分。若以图示表示，函数在某一点的微分是函数图形在那一点的切线斜率（前提是在那一点的导数存在而且有定义）。针对单实数变数的而言，函数在某一点的导数也就可以决定在那一点最佳的线性近似。微分和积分的关系可以由微积分基本定理来说明，此定理说明微分是积分的逆运算。 几乎所有量化的学科中都有微分的应用。例如在物理学中，运动物体其位移对时间的导数即为其速度，速度对时间的导数就是加速度、物体动量对时间的导数即为物体所受的力，重新整理后可以得到牛顿第二运动定律formula_1。化学反应的化学反应速率也是导数。在运筹学中，会透过导数决定在运输或是设计上最有效率的作法。 导数常用来找函数的极值。含有微分项的方程式称为微分方程，是描述的基础。微分以及其广义概念出现在许多数学领域中，例如复分析、泛函分析、微分几何、测度及抽象代数。 导数. 假设formula_2和"y"是实数，而且"y"是"x"的函数，也就是说，针对每一个"x"，都有一个对应的"y"。两者的关系可以表示为"y" = "f"("x")。若"f"("x")是直线的方程式（称为一次方程），则会存在两个实数"m"和"b"使得"y" = "mx" + "b"。在这个「斜率－截距式」中，"m"是斜率，可以用下式来求得： formula_3 其中符号Δ（是希腊大写字母Δ）表示「变化」。以下的式子会成立：Δ"y" = "m" Δ"x". 一般的函数不是直线，因此没有斜率。在几何上来看，函数"f"在"x" = "a"的导数就是函数"f"在"a"点切线的斜率（如图）。常会表示为"f" ′("a") 或|"x" = "a"。因为导数是"f"在"a"点线性近似的斜率，因此导数（以及函数"f"在"a"点的值）是函数"f"在"a"点附近最佳的线性化近似。 若在函数"f"定义域中的每一点"a"都有导数，则存在一函数可以将每一点"a"对应到函数"f"在"a"点的导数。例如，若函数"f"("x") = "x"2，则其导数函数"f" ′("x") = = 2"x"。 另一个有关的表示法是函数的。若"x"和"y"是实数变数，函数"f"在"x"点的导数为函数"f"在"x"点切线的斜率。因为"f"的引数及输出都是纯量，因此"f"的导数也是实数。若"x"和"y"是向量，则"f"图形的最佳线性近似会和函数"f"在不同方向的变化有关。找到在单一方向的最佳近似，也就决定了偏微分，一般会表示为。若找到了函数"f"在所有方向的线性化近似，则称为全微分。 微分的历史. 若以切线来看，微分的概念很早以前就出现了，像希腊几何学家欧几里得（约300 BC）、阿基米德（约287–212 BC）及阿波罗尼奥斯（约262–190 BC）。阿基米德也引进了无穷小量的使用，不过最早是用在面积及体积上的研究，而不是在导数及切线上，参考。 在的研究中有看到用无穷小量来探讨量的变化，最早也许可以推到西元500年，当时天文学家及数学家阿耶波多用无穷小量来研究月球轨道。在印度数学家婆什迦罗第二（1114–1185）时，用无穷小量来计算量变化的研究有显著的进展，也有人提到在他的著作中已提到许多微分学的重要概念，例如罗尔定理。 伊斯兰数学家（1135年–1213年）在其著作《Treatise on Equations》中说明了部份三次方程有解的条件，是透过找适当三次多项式的最大值来求得。他证明了三次多项式"a x2 — x"3的最大值出现在"x" 2"a"/3，并且得到结论：方程式 "a x"2 — "x"3 "c"在"c" 4 "a"3/27时恰有一正值的解，若0 "f"是在ℝ（或是其他开区间）内的可微函数，而"x"是"f"有局部最小值或是局部最大值的位置，则"f"在"x"处的导数为零。满足"f'"("x") 0的点称为临界点或是驻点（则"f"在"x"处的值称为）。若"f"没有处处可微的特性，则"f"不可微的点也称为临界点。 若"f"是二次可微，则"f"的临界点"x"可以用"f"在"x"的二次导数来分析： "x"3在"x" 0处为临界点，但不是局部最小值也不是局部最大值，而 "f"("x") ± "x"4在"x" 0处为临界点，分别是局部最小值及局部最大值） 上述作法称为。是另一种分析方式，考虑"f'"在临界点前后的符号变化。 取导数，并且求解临界点是要找局部最小值或最大值的最简单作法，常应用在最优化中。根据极值定理，连续函数在闭区间内至少会有一次局部最小值及局部最大值。若函数可微，其局部最小值及局部最大值只会出现在临界点或是端点上。 取局部最小值及局部最大值也可以在函数图形的绘制上：只要找到可微分函数的局部最小值、局部最大值以及位，可以根据观察函数在各临界点之间的趋势来绘制简图。 在高维度的空间中，标量函数的临界点是其梯度为0的点。仍然可以用二次导数测试来分析临界点，作法是考虑函数在临界点上二阶导数形成海森矩阵的特征值。若所有特征值都为正，此点为局部最小值；若所有特征值都为负，此点为局部最大值；若部份为正，部份为负，表示临界点为鞍点；不过若有部份特征值为零，则无法以此方式判断。 变分法. 最佳化问题的一个例子是：找到在一曲面上，通过曲面上二点的最短路径。若是在平面上，其最短路径是直线。不过若曲面是较复杂的形状（例如蛋形），最短路问题的解就不是那么直观了，此路径称为测地线，而这也是最佳化问题中最简单的问题之一。另一个例子是：找到可以填充空间中封闭曲线的最小面积曲面，此曲面称为极小曲面，也可以透过变分法求得。 物理. 微分在物理学上格外重要：许多物理的现象都是用有关微分的方程式来描述，这类方程称为微分方程。物理学格外关注物理量随时间的变化，而时间导数是物理量随时间的变化率，是许多重要概念精准定义的基础。尤其在牛顿力学中，很重视一物体位置的时间导数： 例如：若物体在一直线上的位置可以用下式表示 formula_4 则其速度为 formula_5 而加速度为 formula_6 此时加速度已为定值。 微分方程. 微分方程是指一函数和其微分之间的关系。常微分方程会描述单变数函数和其微分之间的关系。而偏微分方程则是多变数函数和其偏微分之间的关系。在自然科学、数学建模，甚至是数学领域中都常常会出现微分方程。例如，牛顿第二定律描述力和加速度的关系，可以表示为以下的常微分方程 formula_7 一维空间下的热传导方程式描述热在一杆状物上如何传递，其偏微分方程如下 formula_8 此处"u"("x","t")为杆状物时间"t"时，在位置"x"的温度，而"α"为一常数，和热在杆状物上传递的速度成正比。 均值定理. 均值定理提供了函数的导数和其原始值之间的关系。若"f"("x")是实值函数，而"a" 和"b"是实数，且"a" ("a", "f"("a"))和("b", "f"("b"))之间的斜率会等于在"a"和"b"中间某一点"c"的切线斜率。换句话说 formula_9 实际上，均值定理是以其导数的方式来控制一个函数。例如，假设"f"有导数，在每一点均为0，这表示其每一点的切线都是水平线，因此其函数应该也就是水平线。均值定理证明这是对的："f"图上二点之间的斜率必须等于"f"中的某一条切线。而所有的切线斜率都是0，因此从函数上任二点之的直线斜率也是0。这表示函数不会上升也不会下降，因此是水平线。若是导数的条件比较复杂，所产生的原函数资讯会比较不准确，但仍然有用。 泰勒多项式及泰勒级数. 一函数的某一点的微分是对该点附近最佳的线性近似，不过这和实际的函数可能有很大的差异。改善近似的一个方式就是进行二次近似。也就是说，实值函数"f"("x")在"x"0点的线性化是线性多项式"a" + "b"("x" − "x"0)，若考虑一个二次多项式"a" + "b"("x" − "x"0) + "c"("x" − "x"0)2，可能会有更好的近似结果。若二次多项式改为三次多项式"a" + "b"("x" − "x"0) + "c"("x" − "x"0)2 + "d"("x" − "x"0)3，近似效果会更好一些，此概念可以扩展到任意多次的高次多项式。针对一个多项式，都应该会有一个最佳的系数"a"、"b"、"c"、"d"……的组合，让近似的效果最好。 在"x"0的邻域，对"a"来说，最理想的数值一定是"f"("x"0)，对"b"来说，最理想的数值一定是"f'"("x"0)，对For "c"、"d"及更高阶的系数来说，其系数最理想的数值是由"f"更高阶的导数决定。"c"最理想的数值一定是，and "d"最理想的数值一定是。利用这些系数，可以得到"f"的泰勒多项式。"d"次的泰勒多项式是对"f"可以有最佳近似的"d"次多项式，其系数可以用上述公式推广而得。泰勒公式提供近似程度的精确范围。若函数"f"是次数小于等于"d"的多项式。则此函数的"d"次泰勒多项式即为函数"f"。 泰勒多项式的极限是无穷级数，称为泰勒级数。多半来说泰勒级数是原函数非常理想的近似。一函数若都各点等于其泰勒级数，称为解析函数。若函数有不连续点或是斜率不连续的尖角，此函数不会是解析函数，不过相反的，存在一些函数是光滑函数（无穷阶可导的函数），却不是解析函数（）。 隐函数定理. 有些几何图形（例如圆）无法用函数图形来表示。例如若"f"("x", "y") "x"2 + "y"2 − 1，其圆即为所有使"f"("x", "y") 0的点 ("x", "y")的集合。这个集合称为"f"的零集。这和"f"本身的图形（抛物面）不同。隐函数定理可以将"f"("x", "y") 0之类的关系转换为函数。其中提到，若"f"是连续可微函数，"f"的零集中大部份都可以表示为函数图形「粘贴」的组合。零集上的个点是否满足上述条件，可以用一个和"f"微分有关的方式来确认。例如圆可以表示成二个函数图形±「粘贴」后的结果。圆上除了(−1, 0)和(1, 0)二点之外，在其余每一个点的邻域上，上述二个函数中都有一个的图形和圆的图形类似。（上述二个函数其实刚好也通过(−1, 0)和(1, 0)，不过这不是隐函数定理中提到的内容） 隐函数定理和反函数定理有密切的关系。反函数定理提到一函数在一点的开区域内具有反函数的充分条件。