四平方和定理
四平方和定理
四平方和定理 （） 说明每个正整数均可表示为4个整数的平方和。它是费马多边形数定理和华林问题的特例。
历史.
formula_1
根据上述欧拉恒等式或四元数的概念可知如果正整数formula_2和formula_3能表示为4个整数的平方和，则其乘积formula_4也能表示为4个整数的平方和。于是为证明原命题只需证明每个素数可以表示成4个整数的平方和即可。
formula_5
必有一组整数解x，y满足formula_6，formula_7（引理一）
至此，证明四平方和定理所需的全部引理已经全部证明完毕。此后，拉格朗日和欧拉分别在1770年和1773年作出最后的证明。
证明.
根据上面的四平方和恒等式及算术基本定理，可知只需证明质数可以表示成四个整数的平方和即可。
formula_8，因此只需证明奇质数可以表示成四个整数的平方和。
根据引理一，奇质数formula_9必有正倍数可以表示成四个整数的平方和。在这些倍数中，必存在一个最小的。设该数为formula_10。又从引理一可知formula_11。
证明formula_12不会是偶数.
设formula_12是偶数，且formula_14。由奇偶性可得知必有两个数或四个数的奇偶性相同。不失一般性设formula_15的奇偶性相同，formula_16的奇偶性相同，formula_17均为偶数，可得出公式：
formula_18
formula_19，与formula_12是最小的正整数使得的假设formula_10可以表示成四个整数的平方和不符。
证明 formula_22.
现在用反证法证明formula_22。设formula_24。
故存在不全为零、绝对值小于formula_32（注意formula_12是奇数在此的重要性）整数的formula_34使得 formula_35。
formula_36
formula_37
可得 formula_38，其中formula_39是正整数且小于formula_12。
令formula_42，根据四平方和恒等式可知formula_43是formula_12的倍数，令formula_45，
formula_46
formula_47
formula_48
矛盾。
引理一的证明.
将和为formula_49的剩余两个一组的分开，可得出formula_50组，分别为formula_51。
将模formula_9的二次剩余有formula_50个，分别为formula_54。
若formula_55是模formula_9的二次剩余，选取formula_57使得formula_58，则formula_59，定理得证。
若formula_55不属于模formula_9的二次剩余，则剩下formula_55组，分别为formula_63，而模formula_9的二次剩余仍有formula_50个，由于 formula_66 ，根据抽屉原理，存在formula_67。
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