欧拉定理 (数论)

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欧拉定理 (数论)

欧拉定理 (数论) 在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理或欧拉formula_1函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若formula_2为正整数，且formula_2-{zh-hans:互素; zh-hant: 互质}-（即formula_4），则 formula_5 即formula_6与1在模n下同余；φ(n)为欧拉函数。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。例子. 首先看一个基本的例子。令formula_7，formula_8，此两数为互质正整数。小于等于5的正整数中与5互质的数有4个（1、2、3和4），所以formula_9（详情见欧拉函数）。计算：formula_10，与定理结果相符。使用本定理可大程度地简化幂的模运算。比如计算formula_11的个位数时，可将此命题视为求formula_11被10除的余数：因7和10互质，且formula_13，故由欧拉定理可知formula_14。所以formula_15。一般在简化幂的模运算的时候，当formula_16和formula_17互质时，可对formula_16的指数取模formula_19： formula_20，其中formula_21。证明. 一般的证明中会用到“所有与formula_17互质的同余类构成一个群”的性质，也就是说，设formula_23是比formula_17 小的正整数中所有与formula_17 互素的数对应的同余类组成的集合（这个集合也称为模"n" 的简化剩余系）。这些同余类构成一个群，称为整数模n乘法群。因为此群阶为formula_26，所以formula_5。当formula_17是素数的时候，formula_29，所以欧拉定理变为： formula_30或 formula_31 这就是费马小定理。

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