三次方程 三次方程是未知项总次数最高为3的整式方程，一元三次方程一般形式为 formula_1， 其中formula_2是属于一个域的数字，通常这个域为ℝ或ℂ。 本条目只解释一元三次方程，而且简称之为三次方程式。 历史. 中国唐朝数学家王孝通在武德九年（626年）前后所著的《缉古算经》中建立了25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。 波斯数学家欧玛尔·海亚姆（1048年－1123年）通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。 中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的《数书九章》一书中提出了高次方程的数值解法秦九韶算法，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则。 在十六世纪早期，意大利数学家费罗找到了能解一种三次方程的方法，也就是形如formula_3的方程。事实上，如果我们允许formula_4是复数，所有的三次方程都能变成这种形式，但在那个时候人们不知道复数。 尼科洛·塔尔塔利亚被认为是最早得出三次方程式一般解的人。1553年他在一场数学竞赛中解出所有三次方程式的问题。随后卡尔丹诺拜访了塔尔塔利亚请教三次方程式解法并得到了启发。卡尔丹诺注意到塔尔塔利亚的方法有时需要他给复数开平方。他甚至在《数学大典》里包括了这些复数的计算，但他并不真正理解它。拉斐尔·邦贝利（Rafael Bombelli）详细地研究了这个问题，并因此被人们认为是复数的发现者。 判别式. 当formula_5时，方程有一个实根和两个共轭复根； 当formula_6时，方程有三个实根：当 formula_7 时，方程有一个三重实根； 当formula_8时，方程的三个实根中有两个相等； 当formula_9时，方程有三个不等的实根。 三次方程解法. 求根公式法. formula_10 formula_11 formula_12 formula_13 红色字体部分为判别式formula_14。 当formula_5时，方程有一个实根和两个共轭复根； 当formula_6时，方程有三个实根： 当formula_7时，方程有一个三重实根； 当formula_8时，方程的三个实根中有两个相等； 当formula_9时，方程有三个不等的实根。 formula_10 formula_21 formula_22 formula_23 卡尔达诺法. 令formula_24为域，可以进行开平方或立方运算。要解方程只需找到一个根formula_25，然后把方程formula_26除以formula_27，就得到一个二次方程，而我们已会解二次方程。 在一个代数封闭域，所有三次方程都有三个根。复数域就是这样一个域，这是代数基本定理的结果。 解方程步骤： formula_29，其中formula_30，formula_31，formula_32。 formula_38，其中formula_39和formula_40是域中的数字。 formula_41；formula_42。 这个假设的hint如下: 记formula_46。前一方程化为formula_47。 展开：formula_48。 重组：formula_49。 分解：formula_50。 接下来，formula_59和formula_60是formula_56和formula_57的立方根，适合formula_63，formula_64，最后得出formula_33。 在域formula_66里，若formula_67和formula_68是立方根，其它的立方根就是formula_69和formula_70，当然还有formula_71和formula_72，其中formula_73，是1的一个复数立方根。 因为乘积formula_63固定，所以可能的formula_75是formula_76，formula_77和formula_78。因此三次方程的其它根是formula_79和formula_80。 判别式. 最先尝试解的三次方程是实系数（而且是整数）。因为实数域并非代数封闭，方程的根的数目不一定是3个。所遗漏的根都在formula_66里，就是formula_82的代数闭包。其中差异出现于formula_56和formula_57的计算中取平方根时。取立方根时则没有类似问题。 可以证明实数根数目依赖于辅助方程的判别式formula_85， 注意到实系数三次方程有一实根存在，这是因为非常数多项式在formula_97和formula_98的极限是无穷大，对奇次多项式这两个极限异号，又因为多项式是连续函数，所以从介值定理可知它在某点的值为0。 第一个例子. 解formula_99。 我们依照上述步骤进行： formula_113和formula_114， formula_115和formula_116。 formula_117， formula_118 该方程的另外两个根： formula_119， formula_120， 第二个例子. 这是一个历史上的例子，因为它是邦别利考虑的方程。 方程是formula_121。 从函数formula_122算出判别式的值formula_123，知道这方程有三实根，所以比上例更容易找到一个根。 前两步都不需要做，做第三步：formula_105，formula_51，formula_107。 formula_127和formula_128。 formula_56和formula_57是formula_131的根。这方程的判别式已算出是负数，所以只有实根。很吊诡地，这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由：复数是解方程必需工具，即使方程或许只有实根。 我们解出formula_132和formula_133。取复数立方根不同于实数，有两种方法：几何方法，用到辐角和模（把辐角除以3取模的立方根）；代数方法，分开复数的实部和虚部： 现设formula_134。 formula_135等价于： formula_136（实部） formula_137（虚部） formula_138（模） 得到formula_139和formula_140，也就是formula_141，而formula_60是其共轭：formula_143。 归结得formula_144，可以立时验证出来。 其它根是formula_145和formula_146，其中formula_147。 当formula_14是负，formula_56和formula_57共轭，故此formula_59和formula_60也是（要适当选取立方根，记得formula_63）；所以我们可确保formula_154是实数，还有formula_155和formula_156。 盛金公式法. formula_10，其中系数皆为实数。 判别式. 重根判别式：formula_158； 总判别式：formula_159。 情况1：formula_160. formula_161。 情况2：formula_162. 让formula_163，得： formula_164； formula_165； formula_166。 情况3：formula_87. 让formula_168，得： formula_169； formula_170。 情况4：formula_90. 让formula_172，得： formula_173； formula_174； formula_175。 极值. 驻点的公式. 设formula_176 将其微分，可得formula_177 拐点. formula_178 设formula_179，可得formula_180。 formula_181 驻点的类型. 由函数取极值的充分条件可知： formula_182，formula_183是formula_184的极大值点； formula_185，formula_183是formula_184的极小值点； formula_188，formula_183是formula_184的拐点。 formula_191可知： formula_192，formula_180的驻点为极大值点； formula_194，formula_180的驻点为极小值点； formula_196，formula_180的驻点为拐点。