黄金分割率
黄金分割率
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黄金比例（），又称黄金比、黄金分割比、黄金分割率，是数学常数，一般以希腊字母formula_2表示。可以以下代数式定义：
formula_3
这也是黄金比一名的由来。黄金比是无理数，准确值为formula_4，约值（小数点后20位，）：
formula_2＝1.61803398874989484820…
应用时一般取1.618，就像圆周率在应用时取3.1416一样。
黄金比有严格的艺术感、和谐感，蕴藏丰富的美学价值，而且呈现于不少动物和植物的外观。现今普遍很多工业产品、电子产品、建筑物或艺术品均应用了黄金比，使其更美观。
历史.
黄金比例是属于数学领域的专有名词，但最后涵盖的内容不只是有关数学领域的研究，根据目前的文献探讨，我们可以说，黄金比的发现和如何演进至今仍是个谜。但有研究指出公元前六世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金比的一些规则，也发现无理数，但由于其数字崇拜的宗教信仰拒绝承认其存在。它侧重于从数学关系去探讨美的规律，并认为美就是和谐与比例，按照这种比例关系就可以组成美的图案，这其实是一个数字的比例关系，即将一条线分成两部份，长段与短段之比等于全长与长段之比，它们的比例大约是1.618比1，知名的费氏数列也体现了这数学原则，按此种比例关系组成的任何事物都表现出其内部关系的和谐与均衡。
公元前四世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金比，成为最早的有关黄金比的论著（即中末比）。
中世纪后，黄金比被披上神秘的外衣，义大利数学家卢卡·帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家约翰内斯·开普勒称神圣比例为黄金比。到19世纪黄金比一名才逐渐通行，而证据在于德国数学家所写的《基本纯数学》第2版注释中有关黄金比的解释：「人们习惯把按此方式将任一直线分割成两部份的方法，称为黄金比」。而在1875年出版的《大英百科全书》第9版中，苏利有提到：「由费区那……提出的有趣、实验性浓厚的想法宣称，『黄金比』在视觉比例上有所谓的优越性。」可见黄金比在当时已甚为流行。20世纪时美国数学家给它个名叫phi。黄金比有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛，造就了它今天的名气。最著名的例子是优选学的黄金比法或0.618法，是由美国数学家于1953年首先提出，70年代在中国推广。
基本计算.
两个数值formula_6和formula_7构成黄金比例formula_2，如果：formula_9
一个得出formula_2数值的方法是从左边的分数式入手。经过简化和代入，
formula_11
于是：
formula_12
两边乘以formula_2就得到：
formula_14
即是formula_15
找出该方程的正解，
formula_16
黄金比奇妙之处在于其倒数为自身减1，即0.618…＝1.618…－1，并时常称为「黄金比例共轭」。
从上面的formula_12得到：
formula_18
0.618…的数值常用希腊字母formula_19表示，即：
formula_20＝0.6180339887…，亦可表达为：
formula_19＝formula_2－1＝1.6180339887…－1＝0.6180339887…
替代或其他形式.
公式formula_23可以递归扩展来获得黄金比的连分数：
formula_24
而它的倒数是：
formula_25
平方根表示：
formula_26
以三角函数的特殊值表示：
formula_27
即是：
formula_28
formula_29
formula_30
formula_31
formula_32且formula_33，其中n为任何整数，formula_34是费氏数列的第"n"项
formula_35，若且唯若formula_36或formula_37。
黄金比数高精度计算程式码.
C++.
using namespace std;
int main() {
long b, c, d = 0, e = 0, f = 100, i = 0, j, N;
cout « "请输入黄金分割数位数\n";
cin » N;
N = N * 3 / 2 + 6;
long* a = new long[N + 1];
while (i 0;
i == N - 6 ? printf("\r0.61") : printf("%02ld", e += (d += b / f) / f),
e = d % f, d = b % f, i -= 2)
for (j = i, b = 0; j; b = b / c * (j-- * 2 - 1))
a[j] = (b += a[j] * f) % (c = j * 10);
delete[] a;
cin.ignore();
cin.ignore();
return 0;
贵金属分割.
贵金属分割即formula_38，其中formula_39为正整数。formula_40时为黄金比（formula_4），formula_42时为白银比（formula_43），formula_44时为青铜比（formula_45）。用连分数可表示为formula_46
参考文献.
来源.
延伸读物.
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