杨辉三角形

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杨辉三角形

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杨辉-{三角形，又称帕斯-{卡三角形、贾宪三角形、海亚姆三角形、巴斯-{卡三角形，是二项式系数的一种写法，形似三角形，在中国首现于南宋杨辉的《详解九章算法》得名，其在书中说明是引自贾宪的《释锁算书》，故又名贾宪三角形。前 9 行写出来如下： formula_1 杨辉三角形第 formula_2 层（顶层称第 0 层，第 1 行，第 formula_2 层即第 formula_4 行，此处 formula_2 为包含 0 在内的自然数）正好对应于二项式 formula_6 展开的系数。例如第二层 1 2 1 是幂指数为 2 的二项式 formula_7 展开形式 formula_8 的系数。历史. 波斯数学家Al-Karaji和天文学家兼诗人欧玛尔·海亚姆（عمر خیام,Omar Khayyám）在10世纪都发现了这个三角形，而且还知道可以借助这个三角形找formula_2次根，和它跟二项式的关系。但他们的著作已不存。 11世纪北宋数学家贾宪发明了贾宪三角，并发明了增乘方造表法，可以求任意高次方的展开式系数。贾宪还对贾宪三角表（古代称数字表为“立成”）的构造进行描述。贾宪的三角表图和文字描写，仍保存在大英博物馆所藏《永乐大典》卷一万六千三百四十四。 13世纪中国南宋数学家杨辉在《详解九章算术》里解释这种形式的数表，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》。 1303年元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》卷首绘制《古法七乘方图》。意大利人称之为「塔塔利亚三角形」（Triangolo di Tartaglia）以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。布莱士·帕斯卡的著作"Traité du triangle arithmétique"（1655年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亚伯拉罕·棣莫弗（1730年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家：中国数学家的研究. 中国贾宪是贾宪三角的发明人，贾宪/杨辉称之为“释锁求廉本源”，朱世杰称之为“古法七乘方图”（1303年），明代数学家吴敬《九章详注比类算法大全》称之为“开方作法本源”（1450年）；明王文素《算学宝鉴》称之为“开方本源图”（1524年）；明代程大位《算法统宗》称之为“开方求廉率作法本源图”（1592年）。清代梅文鼎《少广拾遗》称之为“七乘府算法”（1692年）；清代孔广森《少广正负术》称之为“诸乘方乘率表”；焦循《加减乘除释》称之为“古开方本原图”；刘衡《筹表开诸乘方捷法》称之为“开方求廉率图”；项名达《象数一原》称之为“递加图”。伟烈亚力《数学启蒙》称之为“倍廉法表”；李善兰《垛积比类》称之为“三角垛表”。近代中算史家李俨称之为“巴斯噶三角形”，但根据《永乐大典》指出“巴斯噶三角形”最早由贾宪使用。。著名数学家华罗庚，在1956年写的一本通俗读物《从杨辉三角谈起》，将贾宪的《开方作法本源》称为“杨辉三角”，首次将“巴斯噶三角形”回归宋代数学家名下；此后的中学数学教科书和许多数学科普读物都跟随之。另一方面，专业的中国数学史著作，都用“贾宪三角”这个称呼。。一个数在杨辉三角出现的次数. 由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为：∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... （）。最小而又大于1的数在贾宪三角形至少出现n次的数为2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... （） formula_47formula_48

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